Axiomes de Peano

Les axiomes de Peano sont, en mathématiques, un ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique [1].

Axiomes

La définition axiomatique des entiers naturels de Peano est usuellement décrite informellement par cinq axiomes :

  1. l'élément appelé zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation positionnelle.) et noté: 0, est un entier naturel.
  2. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
  3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
  4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
  5. Si un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à \mathbb{N}.

Le premier axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) permet de poser que l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), le troisième qu'il possède un premier élément et le cinquième qu'il vérifie le principe de récurrence.

De façon plus formelle, le triplet \left(E,x,s\right) satisfait les propriétés suivantes :

  1. E est un ensemble, x est un élement de E, s est une application de E dans lui-même.
  2. x \notin s\left(E\right)
  3. s est injective
  4. Tout sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) F de E contenant x et stable par s (c'est-à-dire que s\left(F\right) \subset F) est égal à E.

Une telle structure est appelée structure de Dedekind-Peano (d'après le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) Richard Dedekind) [2]

Arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la...) de Peano

L'arithmétique de Peano est la restriction des axiomes de Peano (Les axiomes de Peano sont, en mathématiques, un ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique [1].) au langage de l'arithmétique du premier ordre \{0,s,+,\cdot \}. Les variables du langage désignent des objets du domaine d'interprétation, ici des entiers. Dans ce langage du premier ordre, on ne dispose pas de variables pour les ensembles d'entiers, et on ne peut quantifier sur ces ensembles. On ne peut donc pas exprimer directement la récurrence par un énoncé tel que celui du paragraphe précédent (" tout sous-ensemble ... "). On considère alors qu'un sous-ensemble de \mathbb N est exprimé par une propriété de ses éléments, propriété que l'on écrit dans le langage de l'arithmétique.

Les axiomes de Peano deviennent alors les 7 axiomes suivants, auxquels s'ajoute, pour la récurrence, un schéma d'axiomes, qui représente une infinité dénombrable d'axiomes (un axiome pour chaque formule du langage) :

  1. \forall x \lnot (sx = 0)
  2. \forall x \exists y (\lnot x=0 \rightarrow sy=x )
  3. \forall x \forall y (sx=sy \rightarrow x=y)
  4. \forall x (x+0=x)
  5. \forall x \forall y (x+sy = s(x+y))
  6. \forall x (x\cdot 0=0)
  7. \forall x \forall y (x\cdot Sy = (x\cdot y) + x)
  8. Pour toute formule \phi(x,x_1,\ldots,x_n) à n + 1 variables libres, \forall x_1 \ldots \forall x_n \left( \left(\phi \left(0,x_1,\ldots ,x_n \right) \wedge \forall x \left(\phi \left(x,x_1,\ldots ,x_n \right)\rightarrow \phi \left(Sx,x_1,\ldots ,x_n \right) \right) \right)\rightarrow \forall x \phi \left(x,x_1,\ldots,x_n \right) \right)

Le schéma d'axiomes exprime bien la récurrence : dans la formule \phi(x,x_1,\ldots,x_n), les variables (x_1,\ldots,x_n) sont des paramètres, que l'on peut remplacer par des entiers arbitraires (p_1,\ldots,p_n). L'axiome pour la formule \phi(x,x_1,\ldots,x_n) devient, appliqué à (p_1,\ldots,p_n) :

\left( \left(\phi \left(0,p_1,\ldots ,p_n \right) \wedge \forall x \left(\phi \left(x,p_1,\ldots ,p_n \right)\rightarrow \phi \left(Sx,p_1,\ldots ,p_n \right) \right) \right)\rightarrow \forall x \phi \left(x,p_1,\ldots,p_n \right) \right)

Ce qui exprime bien que, si l'ensemble \left\{x \in \mathbb N\mid  \phi \left(x,p_1,\ldots,p_n \right)\right\} contient 0, et s'il contient le successeur de chacun de ses éléments, c'est \mathbb N.

Cependant, le schéma d'axiomes ne donne plus cette propriété que pour les sous-ensembles de \mathbb N qui se définissent dans le langage de l'arithmétique du premier ordre : une infinité dénombrable de sous-ensembles de \mathbb N.

On peut montrer que l'arithmétique de Peano ne peut être finiment axiomatisée, à moins de modifier le langage. Cela n'a donc pas forcément grand sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) de chercher à minimiser les axiomes. On peut tout de même remarquer que l'axiome 2 pourrait être éliminé. Il se démontre par récurrence, une récurrence assez singulière, puisqu'il faut bien distinguer le cas 0 du cas successeur, mais que dans ce dernier cas, l'hypothèse de récurrence n'est pas utile.

Existence et unicité

L'existence d'une structure de Dedekind-Peano peut être établie par une construction très usuelle dans le cadre de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des ensembles :

  • On pose 0 = ∅.
  • On définit la " fonction " (au sens intuitif) successeur s en posant, pour tout ensemble a, s(a)=a \cup \{a\}. On remarque que pour tous ensembles a et b :
s(a) ≠ 0  ;   s(a) = s(b) ⇒ a = b.
  • Un ensemble A est dit inductif s'il contient 0 est s'il est clos par successeur, c'est-à-dire que si a \in A, alors s(a) \in A.
  • L'existence d'au moins un ensemble inductif est assurée par l'axiome de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui...). On définit alors la structure \left( \mathbf{N}, \empty, s|_\mathbf{N} \right) : \mathbf{N} est l'intersection de tous les ensembles inductifs et s|_\mathbf{N} est la restriction de s à \mathbf{N}. Cette structure satisfait les axiomes pré-cités (entre autres il est bien ordonné). On peut définir \mathbf{N} comme l'ensemble des entiers naturels.

Cet ensemble est aussi l'ensemble des ordinaux de von Neumann finis. Cette construction de N n'est pas vraiment canonique, l'essentiel est que 0 ne soit jamais un successeur et que le successeur soit injectif (et encore, cela suffirait que ce soit sur l'ensemble obtenu), mais elle permet de construire de façon simple et uniforme un ensemble représentant chaque cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de cette notion pour dénombrer les ensembles, y compris des...) finie (l'entier n ainsi construit a, en tant qu'ensemble, pour cardinal n), l'axiome de l'infini permettant de prouver qu'ils forment un ensemble.

Deux structures de Dedekind-Peano \left( X,x,f \right) et \left( Y,y,g \right) sont dites isomorphes s'il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans...) \phi : X \rightarrow Y telle que φ(x) = y et φf = gφ. On peut montrer que toutes les structures de Dedekind-Peano sont isomorphes.

On trouve souvent la notation \mathbb{N} pour l'ensemble des entiers naturels.

Opérations et ordre

L'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) sont définies sur \mathbf{N} par les axiomes de Peano.

L'addition sur \mathbf{N} est définie récursivement en posant a + 0 = a et a + s(b) = s(a + b) pour tout a et b. \left(\mathbf{N},+\right) est ainsi un monoïde commutatif d'élément neutre 0. Ce monoïde peut être plongé dans un groupe. Le plus petit groupe le contenant est celui des nombres entiers.

Puisque s(0) = 1, s(b) = s(b + 0) = b + s(0) = b + 1. Le successeur de b est simplement b + 1.

De façon analogue, en supposant que l'addition a été définie, la multiplication sur \mathbf{N} est définie en posant a\cdot 0=0 et a\cdot (b+1)=(a\cdot b)+a. \left(\mathbf{N},\cdot \right) est ainsi un monoïde commutatif d'élement neutre 1.

Il est finalement possible de définir un ordre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme....) sur \mathbf{N} en posant que a \le b s'il existe un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) c tel que a + c = b. Alors \mathbf{N} muni de cet ordre est un bien ordonné : tout ensemble non vide de nombres naturels possède un plus petit élément.

Cohérence

En vertu du second théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un...) de Gödel, la non-contradiction de ces axiomes entre eux n'est pas conséquence de ces seuls axiomes : on ne peut pas prouver la cohérence de l'arithmétique dans l'arithmétique.

Une structure de Dedekind-Peano est un modèle de ces axiomes. La construction ci-dessus fournit donc une preuve de cohérence des axiomes relativement à une théorie dans laquelle on peut définir ces structures, et formaliser la preuve de correction, par exemple la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la...) de Ernst Zermelo. Il existe également des preuves de cohérence relative, notamment celle de Gerhard Gentzen qui fournit une mesure précise de la " force " de l'arithmétique : il suffit d'ajouter un principe d'induction jusqu'à l'ordinal dénombrable ε0 pour pouvoir démontrer la cohérence de l'arithmétique.

Modèles non standard

Un modèle de l'arithmétique de Peano qui n'est pas une structure de Dedekind-Peano, et n'est donc pas isomorphe à \mathbf{N} est dit " non standard ".

Tout modèle non standard de l'arithmétique contient les entiers naturels, que l'on appelle alors, entiers " standard ", et qui sont les éléments du modèles que l'on peut désigner par des termes du langage, les autres éléments du modèle sont alors appelés entiers non standard.

Plus précisément si \mathbf{N'}\, est un modèle non standard de l'arithmétique, alors il existe une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) f de \mathbf{N} dans \mathbf{N'}\, telle que :

  • f(0) = 0\quad
  • \forall n, f(s(n)) = s(f(n))

et l'image de f est ce que l'on appelle l'ensemble des entiers standard du modèle.

Il n'est pas possible de distinguer les entiers standard des entiers non standard dans le langage de l'arithmétique, puisque si un prédicat (Les prédicats d’une théorie sont les formules qui contiennent des variables libres.) permettait de caractériser les entiers standard, le schéma de récurrence particularisé à ce prédicat ne serait pas valide. On " sort " donc de l'arithmétique de Peano dès que l'on raisonne sur ces notions dans un modèle non standard. Mais, on peut se servir bien entendu du fait que les axiomes de Peano restent valides dans ce modèle. On montre par exemple facilement qu'un entier non standard est nécessairement supérieur à un entier standard. La totalité de l'ordre (défini par l'addition, voir ci-dessus), reste valide. Si un entier non standard était plus petit qu'un entier standard, on montrerait par injectivité du successeur et récurrence qu'il existe un entier non standard plus petit que 0, et 0 serait un successeur. Encore plus simplement, on montre qu'il ne peut y avoir de plus petit entier non standard, puisque tout entier non nul est un successeur.

Existence des modèles non standard

  • Le théorème de compacité (Il s'agit d'énoncer et de prouver le théorème de compacité du calcul des propositions. Ce théorème a un rôle très important pour la logique du premier ordre, notamment pour la preuve du théorème de...) et le théorème de Löwenheim-Skolem (Le théorème de Löwenheim-Skolem fait partie de la théorie des modèles. Sa simplicité et sa puissance en font un théorème majeur — avec le théorème de compacité.) assurent qu'il existe des modèles dénombrables non standard de l'arithmétique de Peano qui vérifient exactement les mêmes énoncés du premier ordre que \mathbf{N}\,. Abraham Robinson fonde l'analyse non standard (La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au XVIIe siècle mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. Leibniz ou Euler en firent grand usage. Cependant, ils ne purent éclairer...) sur un modèle de l'arithmétique vérifiant en particulier cette condition.
  • Il existe également des modèles non standard qui vérifient des énoncés du premier ordre faux dans \mathbf{N}\, (en plus, rappelons-le, de tous les énoncés démontrables dans Peano, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la notion de modèle). Un énoncé vrai dans \mathbf{N}\, n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Peano, si et seulement s'il existe un modèle non standard dans lequel cet énoncé est faux. Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ont donc pour conséquence l'existence de tels modèles (qui vérifient une formule exprimant que l'arithmétique de Peano est incohérente !). A contrario, on peut utiliser de tels modèles pour montrer que certains énoncés ne sont pas démontrables dans l'arithmétique de Peano.
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