Droite (mathématiques) - Définition

Introduction

Pour les Anciens, la droite, en mathématiques et surtout en géométrie, était un objet allant de soi, si évident que l'on négligeait de préciser de quoi l'on parlait. L'un des premiers à formaliser la notion de droite fut le Grec Euclide dans ses Éléments. Avec le développement du calcul algébrique et du calcul vectoriel, d'autres définitions vinrent s'ajouter. Mais c'est la naissance des géométries non euclidiennes qui a conduit à la découverte de nouveaux types de droites, et, par là-même, nous a forcés à éclaircir et approfondir ce concept.

Point de vue concret

« La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre ».

Cette définition simple suffit à certaines applications concrètes. Elle permet par exemple au jardinier de tracer ses lignes de semis : en tendant une corde entre deux piquets, il matérialise une ligne tirée au cordeau. Une autre image habituelle est celle du fil à plomb. C'est-à-dire, dans les deux cas, un fil tendu dont on néglige l'épaisseur.

Cette définition est celle d'un segment. Une droite, à la différence d'un segment, est illimitée des deux côtés.

Différentes limitations de cette définition ont conduit les mathématiciens à lui en préférer d'autres. Par exemple, si on assimilie la Terre à une sphère, le chemin le plus court entre deux points n'est plus une ligne droite, mais un arc de cercle. Cependant, à l'échelle d'un être humain, ce cercle est si grand qu'une ligne droite en est une bonne approximation. La notion de « chemin le plus court » est étudiée sous le nom de géodésique.

Approche algébrique

Motivations

La définition axiomatique d'Euclide apparait trop pauvre pour résoudre plusieurs familles de problèmes. On peut citer historiquement ceux associés à la construction à la règle et au compas, par exemple la trisection de l'angle, la duplication du cube ou encore la construction d'un polygone régulier. Une approche algébrique est utilisée pour pallier cette faiblesse. À l'aide de la notion de polynôme cyclotomique, Gauss réalise une percée majeure dans ce domaine en 1801 qu'il publie dans son livre Disquisitiones arithmeticae.

Les progrès de la physique engendrent une nouvelle branche des mathématiques, initialement appelée calcul infinitésimal et maintenant calcul différentiel. Elle obtient comme premier succès la compréhension de la mécanique céleste. Une fois encore, la modélisation d'Euclide est insuffisante pour formaliser convenablement ce domaine.

Géométrie vectorielle

Une nouvelle construction est alors proposée, elle se fonde sur des structures algébriques. Les groupes abéliens et les corps sont utilisées pour définir un espace vectoriel puis un espace affine.

En géométrie vectorielle, une droite est un sous-espace vectoriel de dimension 1. On peut la nommer également droite vectorielle.

Si v est un vecteur non nul, la droite vectorielle engendrée par v est l'ensemble des vecteurs w pour lesquels il existe un scalaire (un réel pour un espace vectoriel sur R) k tel que w = kv. On dit alors que les vecteurs v et w sont colinéaires.

Géométrie affine

En géométrie affine, une droite est un sous-espace affine de dimension 1. Si A est un point et v un vecteur non nul, la droite affine engendrée par A et v est l'ensemble des points M pour lesquels il existe un scalaire k tel que . Le vecteur v est appelé vecteur directeur de la droite.

On peut aussi définir la droite passant par les points distincts A et B comme l'ensemble des barycentres des points A et B.

Applications

La notion de droite est alors largement généralisée. L'espace vectoriel peut être un ensemble fini comme pour les codes linéaires utilisés dans la théorie de l'information, ou en arithmétique. Une droite est alors elle aussi un ensemble fini de points. L'espace vectoriel peut être une extension de corps comme dans le cadre de la théorie de Galois, l'ensemble des nombres rationnels dans le corps des réels possède les propriétés géométrique d'une droite.

En analyse, et particulièrement en analyse fonctionnelle une droite est un ensemble de fonctions. Par exemple les primitives d'une fonction continue réelle de la variable réelle forment une droite.