Espace réciproque - Définition

Exemples

Exemple des fentes de Young

Le problème des fentes de Young peut se traiter avec ce formalisme si l'on considère que l'onde incidente est plane et que l'écran est à l'infini.

L'onde incidente a pour équation :

Si

• les fentes ont pour coordonnées S₁(0,d) et S₂(0,0) (on place l'origine à la fente du bas),
• le vecteur d'onde incident a pour composantes

alors en , l'onde diffusée par la fente S₂ vaut

et celle diffusée par S₁ vaut

où est le vecteur (0,d). L'interférence des deux ondes diffusées donne :

L'amplitude de l'onde dépend du facteur de droite, donc du produit scalaire . Si on considère une diffusion d'un angle par rapport à l'incidence, on a :

donc

on remarque ici que la pointe du vecteur décrit un demi-cercle centré en (-k, 0) et de rayon k (demi-cercle car ).

D'après l'équation qui précède, on a :

L'amplitude de l'onde est maximale lorsque le produit scalaire est un multiple de 2π. Comme k = 2π/λ, on retrouve bien que

Par ailleurs, on a :

et donc

La condition de diffraction devient alors

donc pour les conditions d'intensité maximale, K_y ne dépend que de n et pas de λ.

Les conditions sur peuvent donc se représenter de manière graphique dans l'espace des phases : l'extrémité du vecteur de diffraction se situe aux points d'intersection du demi-cercle de centre

(-k = -2π/λ , 0) et de rayon k = 2π/λ avec les droites horizontales d'équation K_y  = 2πn/d.

On voit donc que le système des fentes de Young d'écartement d, éclairées par onde incidente de longueur d'onde λ, peut se représenter par un ensemble de points (K₁, K₂..., K_n), définissant l'extrémité des vecteurs pour lesquels l'intensité est maximale.

La construction du réseau réciproque prend en compte uniquement le vecteur de diffraction , mais pas le vecteur d'onde incident  ; ainsi, si l'onde incidente était oblique, il suffirait de faire changer le centre du demi-cercle (qui se trouve toujours à la position par rapport à l'origine) ; l'intersection de ce demi-cercle avec le réseau réciproque donnerait toujours les conditions de diffraction, c'est-à-dire permettrait de déduire les vecteurs pour lesquels on a un maximum d'intensité.

On peut même s'afranchir de l'invariance par translation et travailler en trois dimensions, en considérant des rayons (incidents ou diffractés) hors du plan . Le vecteur pouvant prendre toutes les orientations, il décrit une demi-sphère, il en est de même pour le vecteur . L'équation K_y = 2πn/d est alors l'équation d'un plan ; les conditions de diffraction sont donc l'intersection de la demi-sphère correspondant au vecteur d'onde incident avec ces plans de l'espace récirpoque. Ce sont donc des demi-cercles.

Ce réseau de plans horizontaux est le réseau réciproque des fentes de Young. On remarque que :

• les plans du réseau réciproque sont perpendiculaires au vecteur de translation entre les fentes ;
• l'espacement des droites est inversement proportionnel à l'espacement des fentes.

Exemple du réseau de diffraction

Considérons un réseau de diffraction optique de pas p.

Pour le calcul, on définit la fonction de l'onde diffractée par le j ^e trait par

si p est le pas du réseau et l'axe des x. La fonction d'onde totale est donc

soit

Les conditions de diffraction sont similaires à celles des fentes de Young, seule change la largeur des raies. Le réseau réciproque est donc le même. Toutefois, on travaille fréquemment en réflexion. Dans ce cas-là, c'est le demi-cercle complémentaire qu'il faut envisager.

Exemple des interférences par une lame d'air

Les interférences par une lame d'air sont créées par la réflexion selon deux plans parallèles séparées d'une distance d. On regarde les interférences « à l'infini ».

Soit le vecteur normal aux plans et de longueur d. Considérons, pour simplifier, que les deux plans sont parallèles au plan (y,z), et prenons deux rayons parallèles incidents de vecteur d'onde frappant les plans à des points situés sur le même axe (le déphasage est indépendant de la position sur le plan mais ne dépend que de la direction de diffusion). Si est l'axe des x, on a .

Le rayon frappant le plan superficiel est directement diffusé. Le rayon frappant le plan profond est diffusé après avoir subi un déphasage Δφ₁

Considérons un vecteur d'onde diffusé . Sur un front d'onde donné (plan perpendiculaire aux vecteurs d'onde), le rayon diffusé par le plan profond subit encore un déphasage Δφ₂

Le déphasage total est donc

L'interférence est constructrice si

c'est-à-dire si

donc

si K_x est la composante de selon l'axe des x. On voit donc que les conditions d'interférences constructrices sont représentées, dans l'espace des phases, par des plans parallèles à (y,z) et espacés de 2π/d.

Comme précédemment, pour un vecteur incident donné, les conditions de diffraction sont données par l'intersection entre ces plans de l'espace réciproque et la sphère décrite par l'extrémité de . Ces intersections sont des cercles ; si l'extrémité de décrit un cercle, celle de également, donc les rayons diffusés en conditions d'interférences constructrices donnent des cônes d'axe normal aux plans.

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Note

Contrairement aux cas précédents, il n'y a plus ici d'invariance par translation selon l'axe des z, il faut donc se placer en trois dimensions.

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On peut considérer un nombre « infini » de plan parallèles, et donc une sorte de réseau de plans. La différence serait alors la même qu'entre les fentes de Young et le réseau plan : les positions de diffraction sont les mêmes, seule change la largeur des raies.

Dans le cas où l'on considère une direction de diffusion symétrique à la direction d'incidence, et si l'on note θ l'angle entre le rayon incident et le plan, on a

( est normal aux plans) et l'on retrouve la loi habituelle 2dsinθ = nλ.