La formule de Brioschi développée par le mathématicien Francesco Brioschi donne la courbure de Gauss selon une autre approche.
Soit (u,v) des coordonnées locales au voisinage d'un point M d'une surface Σ. Le vecteur ΔM entre M(u,v) et un point voisin M(u + du,v + dv) a pour développement limité au premier ordre (Formule de Taylor) :
L'indépendance linéaire des vecteurs Mu et Mv est une propriété invariante par changement de carte, c'est donc une propriété géométrique. D'un point où cette indépendance se vérifie on dit que c'est un point régulier. En un point régulier, toute équation f du plan M + Vect(Mu,Mv) vérifie f(M + ΔM) = o(du,dv) ce qui montre que ce plan vérifie la définition du plan tangent en M à Σ. Dans toute la suite on se restreint au voisinage d'un point régulier.
Pour obtenir un développement limité de ΔM2, on utilise les produits scalaires:
On définit donc la première forme fondamentale I ou ds2 comme la forme quadratique différentielle:
On note traditionnellement d'après Gauss
Cette forme donne l'approximation à l'ordre 2 du carré de la distance entre deux points voisins. Dans cette forme, le vecteur (du,dv) représente la variation des paramètres faisant passer d'un point à un autre. Par exemple en navigation ce sera la variation de longitude et de latitude. Ce choix de coordonnées implique F = 0, car méridien et parallèle sont orthogonaux, et G=Constante car la longueur d'un arc de méridien est constante. D'ailleurs, le choix de la minute comme unité de latitude et de la valeur G = 1 définit le mille nautique comme unité de longueur. Par contre E est variable, car la longueur d'un arc de parallèle dépend de la latitude. L'utilisateur d'une carte marine doit donc veiller tout spécialement à la valeur de E qui est donnée dans les marges haute et basse de la carte.
Si l'on change de carte, on obtiendra une autre expression de I, mais pour un couple de points donnés le calcul avec n'importe quelle carte donne le même résultat.
Le discriminant de I peut s'exprimer avec un déterminant de Gram:
La forme linéaire δ ci-dessus peut s'exprimer comme
Nous avons donc:
d'où
Ainsi le discriminant de II peut s'exprimer à l'aide de deux déterminants de Gram, n'utilisant donc que des produits scalaires, comme le fait I.
Commençons à utiliser
On peut continuer à remplacer les termes de ces déterminants par des expressions tirées de
De la définition de E il vient Eu = 2MuuMu, et Ev = 2MuvMu. De celle de F nous tirons Fu = MuuMv + MuvMu, et Fv = MuvMv + MvvMu, puis de G, nous obtenons Gu = 2MuvMv, et Gv = 2MvvMv
Nous avons donc
Seuls deux termes résistent encore, pour lesquels il faut une dérivation supplémentaire qui nous donne:
Cette dernière expression suffira car dans D1 − D2 les deux termes MuuMvv et
On obtient alors la formule de Brioschi
Si l'on fait un développement limité, à l'ordre 2 cette fois, de ΔM, on obtient par la formule de Taylor:
Mais, si dans cette formule, la partie linéaire est invariante par changement de carte, ce n'est pas le cas de la partie quadratique, car la dérivation deux fois d'une fonction composée comme
Or justement la deuxième forme fondamentale calcule le double de l'approximation à l'ordre deux de la distance algébrique entre un point voisin de M et le plan tangent en M à Σ.
Si δ est la forme linéaire calculant la distance à ce plan tangent, on a donc
Le quotient