Formule de Brioschi - Définition

Introduction

La formule de Brioschi développée par le mathématicien Francesco Brioschi donne la courbure de Gauss selon une autre approche.

Signification géométrique de la première forme fondamentale

Soit (u,v) des coordonnées locales au voisinage d'un point M d'une surface Σ. Le vecteur ΔM entre M(u,v) et un point voisin M(u + du,v + dv) a pour développement limité au premier ordre (Formule de Taylor) :

formule dans laquelle désigne la dérivée partielle .

L'indépendance linéaire des vecteurs M_u et M_v est une propriété invariante par changement de carte, c'est donc une propriété géométrique. D'un point où cette indépendance se vérifie on dit que c'est un point régulier. En un point régulier, toute équation f du plan M + Vect(M_u,M_v) vérifie f(M + ΔM) = o(du,dv) ce qui montre que ce plan vérifie la définition du plan tangent en M à Σ. Dans toute la suite on se restreint au voisinage d'un point régulier.

Pour obtenir un développement limité de ΔM², on utilise les produits scalaires:

On définit donc la première forme fondamentale I ou ds² comme la forme quadratique différentielle:

On note traditionnellement d'après Gauss et .

Cette forme donne l'approximation à l'ordre 2 du carré de la distance entre deux points voisins. Dans cette forme, le vecteur (du,dv) représente la variation des paramètres faisant passer d'un point à un autre. Par exemple en navigation ce sera la variation de longitude et de latitude. Ce choix de coordonnées implique F = 0, car méridien et parallèle sont orthogonaux, et G=Constante car la longueur d'un arc de méridien est constante. D'ailleurs, le choix de la minute comme unité de latitude et de la valeur G = 1 définit le mille nautique comme unité de longueur. Par contre E est variable, car la longueur d'un arc de parallèle dépend de la latitude. L'utilisateur d'une carte marine doit donc veiller tout spécialement à la valeur de E qui est donnée dans les marges haute et basse de la carte.

Si l'on change de carte, on obtiendra une autre expression de I, mais pour un couple de points donnés le calcul avec n'importe quelle carte donne le même résultat.

Le discriminant de I peut s'exprimer avec un déterminant de Gram:

Démonstration de la formule de Brioschi

La forme linéaire δ ci-dessus peut s'exprimer comme .

Nous avons donc: , et

d'où

Ainsi le discriminant de II peut s'exprimer à l'aide de deux déterminants de Gram, n'utilisant donc que des produits scalaires, comme le fait I. avec et

Commençons à utiliser

et

On peut continuer à remplacer les termes de ces déterminants par des expressions tirées de en dérivant:

De la définition de E il vient E_u = 2M_uuM_u, et E_v = 2M_uvM_u. De celle de F nous tirons F_u = M_uuM_v + M_uvM_u, et F_v = M_uvM_v + M_vvM_u, puis de G, nous obtenons G_u = 2M_uvM_v, et G_v = 2M_vvM_v

Nous avons donc et

Seuls deux termes résistent encore, pour lesquels il faut une dérivation supplémentaire qui nous donne:

, et

d'où l'on tire la dernière formule qui manquait:

Cette dernière expression suffira car dans D₁ − D₂ les deux termes M_uuM_vv et n'apparaissent que sous la forme

On obtient alors la formule de Brioschi

Signification géométrique de la deuxième forme fondamentale

Si l'on fait un développement limité, à l'ordre 2 cette fois, de ΔM, on obtient par la formule de Taylor:

Mais, si dans cette formule, la partie linéaire est invariante par changement de carte, ce n'est pas le cas de la partie quadratique, car la dérivation deux fois d'une fonction composée comme ajoute un terme . L'invariance n'a donc lieu qu'à un vecteur tangent près. Cet invariance modulo le plan tangent met en évidence le caractère géométrique de la distance algébrique au plan tangent.

Or justement la deuxième forme fondamentale calcule le double de l'approximation à l'ordre deux de la distance algébrique entre un point voisin de M et le plan tangent en M à Σ.

Si δ est la forme linéaire calculant la distance à ce plan tangent, on a donc ce qui se note traditionnellement, comme le fit Gauss,

Le quotient , puisque c'est le quotient de deux formes quadratiques, ne dépend que de la direction du vecteur (du, dv). C'est la courbure dans la direction (du, dv). Il résulte des définitions ci-dessus que la courbure en un point d'une surface selon une direction est la courbure en ce point de toute courbe tracée sur la surface, passant par ce point et pour lequel la tangente a la direction donnée et le plan osculateur contient la normale à la surface.