Mécanique quantique - Définition et Explications

Formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin

Richard Feynman dans sa thèse en 1942 introduit la notion d'intégrale de chemin afin de présenter une nouvelle formulation de la mécanique quantique. Ces résultats ne seront publiés qu'en 1948 en raison de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) guerre mondiale. A terme, le but de cette approche serait de formuler une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de l'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier...) en développant la quantification par intégrale de chemin (Une intégrale de chemin («path integral» en anglais) est une intégrale...). Si de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...) on retient le formalisme Hamiltonien de la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...) pour traiter des problèmes classiques (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) non relativiste), il s'avère que la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) de Feynman est largement prédominante pour traiter les problèmes relativistes notamment en théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...), l'avantage c'est que cette approche est non perturbative.

Par ailleurs en 1953 Feynman appliqua son approche pour formuler la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....) quantique par intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) de chemin (intégrale de Wiener, formule de Feynman-Kac) et tenta d'expliquer la transition lambda dans l'hélium (L'hélium est un gaz noble ou gaz rare, pratiquement inerte. De numéro atomique 2, il...) superfluide (La superfluidité est un état quantique de la matière qui a été découvert pour la première...).

Équation de Schrödinger

La formulation purement algébrique de Dirac peut paraître abstraite, mais elle eu le mérite de donner un cadre précis à la formulation alors en vogue à l'époque, en l'occurence la mécanique ondulatoire (La mécanique ondulatoire est, comme son nom l'indique, une mécanique régie par la propagation...) de Schrödinger.

La formulation de Schrödinger s'intéresse au mouvement d'une particule dans l'espace. La base de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) des états y est donc naturellement l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) |x\rangle des états de position parfaitement déterminée. Ainsi, dans cette base, l'état |\phi\rangle d'une particule s'écrit :

 |\phi\rangle = \int \phi(x, t) |x\rangle dx

φ(x,t) est une fonction scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...), que Schrödinger appelle fonction d'onde. Schrödinger fait du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) un simple paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...), et non une grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de...), ce qui fait de sa théorie une théorie essentiellement non-relativiste.

En s'inspirant de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de propagation électromagnétique, et à l'aide des relations de Planck et de de Broglie, Schrödinger parvient alors à exprimer l'évolution temporelle de φ(x) :

 -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi(x) = H\phi (x)

où H est un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) linéaire : l'hamiltonien du système considéré.

Interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) de la fonction d'onde

L'interprétation physique de la fonction d'onde Ψ sera donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par Born en 1926, et Dirac en fera plus tard son deuxième postulat, connu sous le nom de règle de Born : le module au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de la fonction d'onde  \left| \Psi \right|^2  =  \overline{\Psi} \Psi représente la densité de probabilité de présence de la particule considérée, c'est-à-dire que :

 dP(\vec{r},t) \ = \ \left| \Psi(\vec{r},t) \right|^2 \ dV

s'interprète comme étant la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) de trouver la particule dans un petit volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) dV situé au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) du point (Graphie) \vec{r} de l'espace à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) t. En particulier, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, on a la condition de normalisation :

 \iiint dP(\vec{r},t) \ = \ \iiint \left| \Psi(\vec{r},t) \right|^2 \ dV \ = \ 1

Cette interprétation statistique pose un problème lorsque le système quantique étudié est l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) entier, comme en cosmologie quantique (La cosmologie quantique est la branche, aujourd'hui quelque peu spéculative (2006), de la...). Dans ce cas, les physiciens théoriciens utilisent préférentiellement l'interprétation dite des « mondes multiples » d'Everett.

Méthodes de résolution

En dehors de quelques cas particuliers où on sait l'intégrer exactement, l'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est...) ne se prête en général pas à une résolution analytique exacte. Il faut alors :

  • soit développer des techniques d'approximations comme la théorie des perturbations (D'un point de vue heuristique, la théorie des perturbations est une méthode...).
  • soit la résoudre numériquement. Cette résolution numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...) permet notamment de visualiser la disposition curieuse des orbitales électroniques.
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