Philosophie des mathématiques - Définition

Introduction

La philosophie des mathématiques est la branche de la philosophie qui tente de répondre aux interrogations sur les fondements des mathématiques ainsi que sur leur usage. On y croise des questions telles que : « pourquoi les mathématiques sont-elles utiles ou efficaces pour décrire la nature ? », « dans quel(s) sens, peut-on dire que les entités mathématiques existent ? » ou « pourquoi et comment peut-on dire qu'une proposition mathématique est vraie ? ».

Les différentes réponses possibles à ces questions s'organisent en différentes écoles de pensée, au nombre desquelles on compte, entre autres :

• le réalisme mathématique ou platonisme mathématique.
• le formalisme
• le logicisme
• le constructivisme (mathématiques) et l'intuitionnisme

Ces pistes seront abordées dans la suite de l'article.

La nature des objets mathématiques

De quoi traitent les mathématiques ? La biologie moléculaire cherche à expliquer le fonctionnement du vivant par l'étude des interactions chimiques entre les molécules. La cosmologie cherche à donner une description cohérente de l'Univers dans son ensemble en oubliant les structures particulières. Les neurosciences cherchent à explorer le fonctionnement interne du cerveau et à comprendre l'origine de la pensée. Et les mathématiques ?

Les mathématiques traitent de nombreux objets dont les propriétés diffèrent. Mais ces objets sont des définitions issues de la réflexion humaine. En ce sens, les mathématiques sont des créations de l'esprit humain, le résultat d'une « construction neuronale » comme l'affirme le neurologue Jean-Pierre Changeux. L'exploration mathématique consisterait à l'énumération de propriétés vérifiées par les objets définis au préalables. Pourtant, la pratique permet de différencier le vrai du faux, de cerner la justesse des raisonnements, et même la pertinence des définitions.

Au contraire, de nombreux mathématiciens sont d'avis de placer les raisonnements mathématiques comme préexistant à l'esprit humain. En ce sens, énoncer un nouveau théorème n'est pas une invention, mais une découverte. Le mathématicien français Jean-Pierre Serre est de cet avis. Il apparente l'étude des cas particuliers, des exemples et contre-exemples, à l'expérimentation.

À première vue, les mathématiques sont une discipline de la pensée qui ne se confronte pas avec le réel. À première vue seulement. Si les mathématiques sont un langage indispensable pour une description de la physique, les sciences de la nature ont conduit au développement interne des mathématiques. Ainsi:

• La géométrie est née de la confrontation à la vision, et de la compréhension du positionnement relatif des objets dans l'espace.
• Le calcul différentiel trouve ses origines dans la volonté de poser les équations de la dynamique avec Newton.
• Les séries de Fourier résultent de la résolution de l'équation de la propagation de la chaleur.
• La géométrie riemannienne est née des incohérences apparentes des cartographies de la Terre.
• Les ondelettes résultent de problèmes liés à la sismologie.

Les mathématiques sont-elles une science ?

Par leur rapport particulier au réel, les mathématiques se distinguent des autres domaines de recherche. Ce rapport au réel conduit des philosophes des sciences à s'interroger sur l'appellation sciences. En philosophie des sciences, le faillibilisme est employé par Charles Sanders Peirce pour opposer les sciences au fondamentalisme ; ce concept est repris dans le rationalisme critique de Karl Popper sous le terme de réfutabilité. Popper reconnaît les mathématiques comme sciences suite aux travaux d'Alfred Tarski sur la sémantique. La question de savoir si les mathématiques sont ou non une science est une question relevant de la philosophie des mathématiques.