Polynôme cyclotomique - Définition

Applications

Théorème de Wedderburn

Le théorème de Wedderburn affirme que tout corps fini K est nécessairement commutatif. La démonstration usuelle est relativement curieuse. Tout d'abord le polynôme cyclotomique utilisé est celui de la caractéristique zéro et non celui du corps. Ensuite, son rôle est celui d'un dénombrement. Le raisonnement est par l'absurde, les cardinaux des classes par l'action par conjugaison sont sommés pour obtenir le cardinal du groupe multiplicatif du corps. Cette égalité s'exprime par une expression du type:

,

La valeur q est celle du centre du groupe multiplicatif de K plus 1 correspondant au point zéro, F[X] est un polynôme à coefficients entiers. Ce qui implique que F[q] est une valeur entière. La fin de la démonstration quitte le dénombrement pour devenir géométrique. Si l'égalité précédente, est vraie, alors il existe une racine primitive n-ième de l'unité u vérifiant la majoration suivante:

Comme q - 1 est le cardinal du centre du groupe commutatif q est au moins égal à 2. La figure de droite démontre l'impossibilité. La démonstration détaillée est donnée dans l'article associé.

Polygone constructible

Cas du pentagone

Construction d'un pentagone

Si la théorie de Galois prend un aspect quelque peu abstrait, elle donne néanmoins une méthode de résolution effective de l'équation cyclotomique et en conséquence propose un mode de construction à la règle et au compas des polygones constructibles (cf l'article nombre constructible). Étudions le pentagone à cinq côtés.

A une similitude directe près du plan euclidien, les sommets du pentagone régulier sont exactement les cinq racines cinquièmes de l'unité. Par identification, ils sont, hormis 1, les racines du cinquième polynôme cyclotomique, soit donc :

.

Si l'équation correspondante est un polynôme du quatrième degré, elle est néanmoins résoluble avec une quantité de calcul faible. Le corps de décomposition, noté parfois F₅, est (par oubli de structure) un espace vectoriel rationnel de dimension quatre. Son groupe de Galois G est le groupe cyclique d'ordre quatre. Il admet donc un générateur noté ici m et un sous-groupe non trivial H, contenant deux éléments, l'identité et m². L'application qui à tout élément de l'extension associe son conjugué est un automorphisme qui laisse F₅ stable, Q invariant et est d'ordre deux ; en conséquence m² est précisément l'application conjuguée. L'objectif est donc de trouver le sous-corps de F₅ de dimension deux sur Q, laissant ses éléments invariants par l'application conjuguée. Un jeu de permutation des racines permet alors de ramener la résolution de l'équation à trois équations simples du second degré.

Il est alors relativement simple d'obtenir une construction à la règle et au compas. Sur la figure illustrative, il est par exemple immédiat de remarquer que la longueur du segment BI est la moitié de la racine carrée de cinq, le radical de la première extension.

Comme ci-dessus, z désigne la racine primitive cinquième privilégiée, à savoir exp(i.2.pi/5) et le générateur m du groupe de Galois est l'automorphisme sur Q de l'extension F₅ uniquement défini par l'identité :

m(z) = z² .

Déterminons les éléments de F₅ laissés invariants par la conjugaison complexe m². Or, m²(z)= z⁴ ; m²(z²)=z³ ; et enfin m² est d'ordre deux. Donc u = z + z⁴ et son image v = m(u) = z² + z³ sont clairement invariants par m². De plus, leur somme u+v et leur produit u.v sont invariants par m et donc par le groupe de Galois ; on s'attend à ce qu'ils soient donc rationnels. La somme u+v est la somme des quatre racines cinquièmes et vaut donc -1 ; le produit est aussi égal à la somme des racines cinquièmes primitives, soit -1.

On en déduit que u et v vérifie l'équation P[X] = 0 où:

Ces formules auraient pu être démontrées en remarquant que z⁴ est le conjugué de z. Il en est de même avec z² et z³.

En effet, on a :

Avec :

Et le carré du conjugué est égal au conjugué du carré de z.

L'ensemble des points fixes par m², donc par H forment une extension intermédiaire de Q, notée habituellement F₅^H. Le polynôme Φ₅[X] se factorise dans l'algèbre F₅H[X] comme suit:

Et dans F₅[X], le polynôme prend la forme:

.

 

Cas de l'heptadécagone

Figure à la règle et au compas: Heptadécagone, le polygone régulier de 17 côtés

Le nombre premier de Fermat suivant est dix-sept. Il correspond à l'heptadécagone, le polygone régulier à dix-sept côtés. Si la logique précédente s'applique avec le même succès, les calculs sont néanmoins plus complexes. Le polynôme à factoriser est maintenant de degré seize. En conséquence, ce cas n'a pas été traité avant une compréhension profonde des polynômes cyclotomiques. L'aspect calculatoire de la résolution du problème est indéniable, en rechange il relativement limité pour une équation de degré seize sans racine évidente ou multiple.

La méthode de résolution proposée ici suit pas à pas la démarche de la théorie de Galois. Ce groupe est le groupe cyclique d'ordre seize. Il contient donc trois sous-groupes non triviaux. H₁ est un sous-groupe à huit éléments, il contient les multiples de deux, H₂ contient les multiples de quatre et H₃ contient deux éléments le neutre et le multiple de huit, la même remarque que celle du paragraphe précédent montre que l'élément non neutre correspond à l'application conjuguée. Les sous-corps associés forment une chaîne d'extensions strictement emboitée tel que la dimension d'un corps est deux sur le corps précédent.

L'objectif est alors de trouver un générateur de chaque extension dans la précédente. La technique utilisé dite des périodes de Gauss est toujours la même. Explicitons la pour la première extension. Soit m² le générateur du premier groupe (on a choisi m générateur du groupe de Galois), Considérons la somme des huit composées successives de z la première racine primitive, et la somme des huit autres racines:

Alors ces deux éléments sont invariant par le générateur m². De plus, leur somme est égal à -1 car c'est la somme de toutes les racines primitives. Ils sont donc de la forme u₁ = a + b.r et u₂ = a - b.r où a et b sont des rationnels et r le radical générateur de l'extension, car nous sommes dans une extension quadratique. Leur produit est donc encore rationnel. On en déduit une équation du type P₁[X] = 0 avec P₁[X] un polynôme du deuxième degré.

Réitérer trois fois cette méthode donne alors la solution.

Choisir m tel que m(z) = z² n'est pas la solution car m est d'ordre huit. Il est donc plus judicieux de choisir m tel que m(z) = z³ m et m² restreints aux racines sont donc deux permutations décrites par:

Alors u₁ est la somme des racines de puissance: 1 ,9 ,13 ,15, 16, 8, 4, 2 et u₂ les autres. Leur somme est égale à la somme des racines donc -1 et leur produit à quatre fois la somme des racines donc -4. On obtient:

Pour appliquer cette même logique une deuxième fois déterminons m⁴ :

Notons alors v₁ la somme des racines d'exposant 1, 13, 16, 4 notons v₂ la somme des racines d'exposant 2, 9, 15, 8 notons v₃ la somme des racines d'exposant 3, 5, 14, 12 et v₄ la somme des racines d'exposant 10, 11, 7, 6

Le calcul effectif donne:

L'étape suivante ne demande pas la détermination de m⁸ car il est établi que cette application est le conjugué, à une racine d'exposant i elle associe donc la racine d'exposant 17 - i. On choisit alors w₁ comme la somme des racines d'exposant 1 et 16 et w₂ comme la somme des racines d'exposant 13 et 4. On obtient:

Le calcul de w₁ suffit pour obtenir la racine primitive. On sait par construction que ce coefficient est égal à la somme de la première racine primitive et de son conjugué. On en déduit alors que:

La construction à la règle et au compas est moins douloureuse qu'il n'y paraît, u₁ a pour radical une longueur égal à l'hypoténuse d'un triangle de côté un et un quart. u₂ a pour radical l'hypoténuse d'un triangle de côté 2 et u₁. Seule l'étape suivante est un peu pénible. Un développement brutal laisserait en effet à penser à une construction plus délicate. Il donne.