Polynôme cyclotomique - Définition

• L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc une galoisienne.

L'extension contient z et donc toutes ses puissances, or les puissances de z forment l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et donc en particulier les racines primitives qui sont les racines du polynôme cyclotomique. Ceci démontre que Q[z] est le corps de décomposition. Dans un corps parfait comme celui des rationnels (un corps parfait est un corps où tous les polynômes irréductibles sont séparables c’est-à-dire n'ont pas de racines multiples dans la clôture algébrique) un corps de décomposition est toujours une extension de Galois.

• L'extension cyclotomique est abélienne.

Soit d un entier plus petit que n et qui ne divise pas n. Alors z^d est une racine du polynôme cyclotomique et il existe au moins un morphisme qui envoie z sur z^d (cf première proposition du paragraphe Extension algébrique et sur-corps). Il n'existe qu'un unique moyen de prolonger sur l'extension le morphisme m_d qui à z associe z^d. En effet m_d(zⁱ) = m_d(z)ⁱ = z ^i.d. Or la famille des z ⁱ si i varie de 0 à φ(n) - 1 forme une base de l'extension. Les automorphismes du groupe de Gallois sont donc parfaitement déterminés.

Considérons alors l'application du groupe multiplicatif des éléments inversibles de du groupe de Galois qui, à la classe de d associe l'automorphisme m_d. Cette application est clairement un isomorphisme de groupe. Cet isomorphisme montre que le groupe de Galois est abélien, et même cyclique, ce qui termine la démonstration.

• Condition nécessaire pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique.

Par définition d'une tour d'extension quadratique, une condition nécessaire est que la dimension de l'extension soit une puissance de deux. Étudions alors les entiers n tel que φ(n) soit une puissance de deux.

Remarquons tout d'abord que si n est égal à p.q avec p et q premiers entre eux alors nous avons l'égalité suivante φ(n) = φ(p).φ(q) (cf l'article Indicatrice d'Euler). Considérons alors la décomposition de n en facteur premier (cf l'article Théorème fondamental de l'arithmétique).

L'indicatrice d'Euler d'une puissance d'un nombre premier p^α est égale à (p - 1). p^{α -1}. Il suffit donc de trouver une condition nécessaire et suffisante pour que le facteur (p - 1). p^{α -1} soit une puissance de deux et appliquer cette condition à chacun des facteurs de l'égalité précédente. Deux cas se présentent, soit p est égal à 2 et toute valeur de α est acceptable, soit p est un nombre premier de la forme 2^k + 1 avec k un entier strictement positif et α est égal à 1.

Montrons par contraposé que si p est un nombre premier de la forme 2^k + 1 alors k est une puissance de deux. Si tel n'est pas le cas, alors il existe deux entiers a et b tel que k = a . 2^b où a est un entier impair et b un entier. L'égalité suivante est vérifiée p = 1 + c^a ou c = 2^b. Dans ce cas, comme a est impair, on a l'égalité:

L'égalité précédente montre que 1 + c est un diviseur de p. Par contraposé, si p est premier, il est donc égal à un nombre de Fermat.

En conclusion n est de la forme suivante:

Où les F_i sont des nombres premiers de Fermat distincts. Et la condition nécessaire est démontrée.

• Condition suffisante pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique.

Le polynôme cyclotomique est alors de degré φ(n) et est une puissance de deux. Notons 2^k ce degré. Le groupe de Galois est alors le groupe cyclique de cardinal 2^k.

Montrons que si l est un entier inférieur à k il existe un sous-groupe G_l du groupe cyclique de cardinal 2^l et tel que si l est non nul alors G_{l - 1} est inclus dans G_l. Définissons G_l comme le sous-groupe engendré par la classe de 2^k-l. Par définition G_{l - 1} est inclus dans G_l si l est non nul. De plus le cardinal de G_l est clairement égal à 2^k-l.

On remarque ensuite que G_l-1 est un sous-groupe distingué de G_l car ce sont des groupes abéliens, donc tout sous-groupe est distingué. Ensuite le cardinal du groupe quotient de G_l par G_{l - 1} est deux.

Le théorème fondamental de la théorie de Galois assure que si K_{k- l} est le sous-corps de l'extension qui laisse invariant tous les automorphismes de G_l (on a ici identifié le groupe de Galois et le groupe cyclique) alors si l est non nul K_l est une extension galoisienne de K_{l - 1} de dimension deux donc quadratique, que K₀ est égal au corps des nombres rationnels et que K_k est le corps de décomposition du polynôme cyclotomique.

Nous avons donc monté une tour d'extension quadratique du corps de décomposition et le théorème est démontré.