Relativité restreinte - Définition et Explications

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Cas des particules de masse nulle

Les donnant E et p en fonction de m et v conduisent immédiatement à la formule

p\,=\,(v/c)(E/c)

Si la vitesse de la particule est égale à la vitesse de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...), alors p = E / c en calculant E2p2c2 on voit que la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) de la particule est forcément nulle. En sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...), si la masse de la particule est nulle, alors p = E / c et par conséquent v = c.

Nous aboutissons donc à la conclusion double importante selon laquelle les particules matérielles ne peuvent pas atteindre la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...) et que seules des particules sans masse se déplacent à la vitesse (On distingue :) de la lumière.

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) est parfaitement cohérent : tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) mécanisme de propagation d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) à la vitesse de la lumière correspond à une quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse...) p égale à l'énergie et donc à une « masse au repos » nulle. En sens inverse, une particule de masse nulle se déplace forcément à la vitesse de la lumière.

La non-conservation de la masse

La conservation du quadrivecteur (La théorie de la relativité (restreinte, puis générale) postulée par Einstein amène à...) énergie-impulsion explique que dans une réaction la masse d'un système puisse ne pas se conserver pour se transformer en énergie, en partie ou en totalité. C'est ce qui se passe dans les réactions de fission, de fusion (En physique et en métallurgie, la fusion est le passage d'un corps de l'état solide vers l'état...) et d'annihilation de particules.

Fission spontanée d'une particule

Supposons qu'un corps au repos, de masse M, se désintègre spontanément en deux parties de masses (masses au repos) respectives \ m_1 et \ m_2 : on montre qu'alors la masse M est supérieure à \ (m_1 + m_2) et que la différence prend la forme d'une énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...).

La loi de conservation (En physique, une loi de conservation (rien ne se perd, rien ne se crée) exprime qu'une propriété...) de l'énergie donne \ Mc^2 = E_1 + E_2 > m_1.c^2 + m_2.c^2 car \ E_i = \gamma_i.m_i.c^2 > m_i.c^2, et donc \ M > m_1 + m_2.

Dans le cas où \ M < m_1 + m_2, cette désintégration ne peut pas être spontanée, elle ne peut se réaliser qu'après apport d'une énergie au moins égale à son « énergie de liaison » égale à \ m_1.c^2 + m_2.c^2 - M.c^2.

La loi de conservation de l'impulsion donne \vec p_1 + \vec p_2 = \vec 0, donc p_1^2 = p_2^2, d'où on tire \ E_1^2 - E_2^2 = m_1^2.c^4 - m_2^2.c^4.

Finalement, les égalités \ Mc^2 = E_1 + E_2 et \ E_1^2 - E_2^2 = m_1^2.c^4 - m_2^2.c^4 permettent de déterminer les énergies des deux nouvelles particules : \ E_1=\frac{M^2 +m_1^2 - m_2^2}{2M}c^2 et \ E_2=\frac{M^2 +m_2^2 - m_1^2}{2M}c^2. La différence de masses \ M - (m_1 + m_2) s'est convertie en énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) pour les deux nouvelles particules, énergie que l'on retrouve dans \ E_1 et \ E_2.

On peut également calculer la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) des impulsions des deux particules, et donc aussi de leurs vitesses.

Une fission de particule implique aussi la conservation de nombres quantiques : la charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de...), le spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque...), etc.

Électromagnétisme et relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein...)

Dans l'espace newtonien à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...), une particule de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) q placée dans un champ électrique (En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules...) \vec{E} et un champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux...) \vec{B} est soumise à la force de Lorentz (En physique, la force de Lorentz désigne :) et l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) qui régit son mouvement est

 d\vec{p}/dt = \,q \, (\vec E \ + \vec{v} \wedge \vec{B}) \,.

Pour transposer cette formule en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) relativiste, on devra considérer le quadrivecteur énergie-impulsion \mathbf{p} à la place du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) \vec{p} et évaluer le taux de variation de ce quadrivecteur non dans le référentiel d'un observateur galiléen quelconque mais dans le référentiel propre de la particule. Le membre de gauche sera donc de la forme d\mathbf{p}/d\tau, où τ est le de la particule chargée. À droite on trouvera un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) indépendant du référentiel choisi et qui en outre sera forcément une fonction linéaire (Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus...) de la vitesse \vec{v} de la particule. En effet la partie spatiale de l'équation de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il...) est linéaire en \,\vec{v}\, puisqu'elle s'écrit

d\vec{p}/d\tau = \gamma d\vec{p}/dt= \gamma q (\vec E \ + \vec{v} \wedge \vec{B}) = q (u_0 \vec{E}/c + \vec{u} \wedge \vec{B})\,.

Dans cette expression \,u_0\, et \vec{u} sont les composantes dans un référentiel lorentzien du quadrivecteur vitesse \mathbf{u}\,, lequel peut donc s'écrire :

\mathbf{u} = (u_0, \vec{u}) = \left(\frac{c}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}, \frac{\vec{v}}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\right)\equiv (\gamma c, \gamma\vec{v})\,.

De façon explicite l'équation ci-dessus se décompose sur les trois axes de la façon suivante :

 \begin{cases} dp_x/d\tau = q (u_0 E_x/c +u_y B_z -u_zB_y)\\ dp_y/d\tau = q (u_0 E_y/c +u_z B_x -u_xB_z)\\ dp_z/d\tau = q (u_0 E_z/c +u_x B_y -u_yB_x) \end{cases}

De son côté la composante temporelle de l'équation de la dynamique (qui correspond à la loi donnant la variation de l'énergie) s'écrit

dp_0/d\tau = \gamma d(W/c)/dt = \gamma q (\vec{E}/c)\cdot\vec{v}\equiv q (\vec{E}/c)\cdot\vec{u}\,,

W est le travail de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) q\vec{E}\,.

En rassemblant les équations écrites ci-dessus dans le cadre d'un espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) à quatre dimensions, le taux de variation du quadrivecteur énergie-impulsion est donné par

 \begin{pmatrix} dp_0/d\tau\\dp_x/d\tau\\dp_y/d\tau\\dp_z/d\tau \end{pmatrix} = q  \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c\\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y\\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x\\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_0\\u_x\\u_y\\u_z \end{pmatrix}

L'équation matricielle que nous venons d'écrire montre qu'en relativité restreinte le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) magnétique et le champ électrique constituent une entité unique. En réalité la présentation précédente est quelque peu incorrecte dans la mesure où pour tirer parti de toute la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) relativiste il est nécessaire de faire appel aux tenseurs. L'équation matricielle ci-dessus est la traduction en termes de composantes de l'équation tensorielle, indépendante, elle, de tout système de coordonnées

d\mathbf{p}/d\tau = q \mathbf{F}(\mathbf{u})\,.

\mathbf{F} est le tenseur (Tenseur) du champ électromagnétique (Un champ électromagnétique est la représentation dans l'espace de la force...) (ou tenseur de Maxwell ou tenseur de Faraday). C'est cet objet qui représente physiquement le champ électromagnétique. Ses composantes dans un certain système de coordonnées sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) par la matrice écrite ci-dessus.

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