Relativité restreinte - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Référentiel du centre d'inertie et masse d'un système de particules

Supposons connu un système isolé et constitué de particules sans interaction, dans un référentiel R : E_\mathrm{syst\grave eme} = E_s = \Sigma_\text{J}\, E_\text{J} et \vec{p}_\mathrm{syst\grave eme} = \vec p_s = \Sigma_\text{J}\,\vec{p}_\text{J}\, sont connus et restent inchangés au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), dans ce référentiel.

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) classique, les définitions du centre d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...), et d'un référentiel inertiel où ce centre est immobile, ne posent pas de problème : on utilise les vecteurs distances et les masses des corps. En physique relativiste, une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) semblable se heurte à une difficulté de choix (faut-il choisir les masses ou les énergies ?) sans critère décisif.

La définition employée est celle qui permet d'utiliser les égalités relativistes le plus simplement : le référentiel dit « du centre d'inertie » est le référentiel R* dans lequel l'impulsion totale (L'impulsion totale, dans le domaine de l'astronautique, est le produit de la poussée moyenne d'un...) est nulle, soit \mathbf{p^*} = \Sigma_\text{J}\,\mathbf{p^*}_\text{J} = \vec 0.

Dans ce référentiel, l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) E* du système vérifie l'égalité \ E^{*2} - p^{*2}.c^2 = E_s^2 - p_s^2.c^2 car il ne s'agit que d'un changement de référentiel, donc \ E^{*2} = E_s^2 - p_s^2.c^2.

La vitesse relative (L'expression vitesse relative est communément utilisée, pour exprimer la différence...) entre les référentiels R et R*, notée \ v^*, vérifie \ p_s = \frac{E_s.v^*}{c^2}, mais cette vitesse (On distingue :) est rarement utilisée dans les calculs.

La valeur de la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) totale M* du système ainsi obtenue est indépendante du référentiel dans lequel on l'évalue : M^{*2}.c^4 = E^{*2} = E_s^2 - p_s^2.c^2 \,. Cette invariance par rapport aux changements de référentiel, et la vérification des formules du quadrivecteur (La théorie de la relativité (restreinte, puis générale) postulée par Einstein amène à...) impulsion du système font que cette définition répond à toutes les propriétés attendues pour une masse.

Par la conservation de l'énergie, et l'absence d'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein...) (il n'y a donc pas d'énergie dans le système qui y soit consacrée), on a : E^* = M^*.c^2 = \Sigma_jE_j^*\,.

Or l'énergie E* de chaque particule j (dans le repère R*) est la somme de l'énergie m c2 correspondant à sa masse au repos m additionnée à son énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) K* (toujours dans le repère R*), c'est-à-dire : \ E_j^* = \gamma_j^*.m_j.c^2 = m_j.c^2 + K_j^*. D'où :

M^* = \Sigma_jm_j + (\Sigma_jK_j^*/c^2)\,.

Ce qui montre que  : la masse totale d'un système de particules indépendantes est supérieure à la somme des masses individuelles des particules.

Conservation du quadrivecteur énergie-impulsion d'un système isolé

En physique classique, la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse...) et l'énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) globales d'un système isolé se conservent au cours du temps, du moins quand les chocs sont élastiques. C'est une propriété compatible mais indépendante du principe de relativité (Le principe de relativité affirme que les lois physiques s'expriment de manière identique...) galiléen. Un changement de référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen, ou inertiel, est un référentiel dans...) donne de nouvelles valeurs à l'énergie cinétique et aux cordonnées de la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) de mouvement du système, mais ces valeurs aussi sont conservées dans le temps, dans ce référentiel.

En relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein...), c'est le quadrivecteur énergie-impulsion global d'un système isolé qui se conserve, et c'est aussi une propriété compatible et indépendante du principe de relativité d'Einstein. Les coordonnées de ce vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) à quatre dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) (quadrivecteur) regroupe l'énergie et la quantité de mouvement, et se conservent quelleque soient les interactions entre les éléments du système isolé. De même qu'en physique non-relativiste, un changement de référentiel donne de nouvelles valeurs à l'énergie (coordonnée temporelle) et aux coordonnées de l'impulsion (coordonnées spatiales), et dans ce nouveau référentiel la conservation des valeurs de ces coordonnées, au cours du temps, est toujours valable.

Le principe de constance est le suivant :

Indépendamment des détails de l'expérience, le quadrivecteur d'un système isolé de particules se conserve dans toute interaction interne.

Autrement dit on peut écrire :

\Sigma_\text{(particules initiales J)} \ \mathbf{p}_\text{J} = \Sigma_\text{(particules finales K)} \ \mathbf{p}_\text{K} \,.

Puisque le quadrivecteur est conservé, chacune de ses composantes dans un système de référence donné (dont les valeurs dépendent du système choisi) est également conservée dans les collisions. La composante temporelle représentant l'énergie E du système et la composante spatiale représentant son impulsion \vec{p}, on aboutit donc pour chaque référentiel à deux lois de conservation, l'une pour l'énergie, l'autre pour la quantité de mouvement (ou impulsion).

Conservation du quadrivecteur énergie-impulsion dans une collision (Une collision est un choc direct entre deux objets. Un tel impact transmet une partie de...)
Un exemple (académique)

Une collision de deux particules est représenté dans la figure ci-contre. Une particule A de masse 8 (en unités arbitraires) animée d'une vitesse v/c de 15/17 dirigée vers la droite frappe une particule de masse 12 arrivant en sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) avec une vitesse v/c de 5/13 (les chiffres ont été choisis pour que les calculs "tombent juste"). Après la collision, A rebondit dans l'autre sens en ayant communiqué à B une partie de sa quantité de mouvement. L'énergie totale, somme des énergies des particules A et B est conservée, de même que la quantité de mouvement totale. Les grandeurs E et p indiquées représentent en réalité (E/c2) et (p/c) et sont exprimées en unités de masse, arbitraires. Avec ces grandeurs on a la relation E 2 = p 2 + m 2. Le facteur γ est toujours défini par γ = [1 - (v/c)2]-1/2.

Collision élastique

Dans un accélérateur de particules (Les accélérateurs de particules sont des instruments qui utilisent des champs...) il arrive qu'une particule de très haute énergie heurte une particule au repos et communique à cette dernière une partie de son énergie cinétique. Si les seuls échanges d'énergie concernent précisément cette énergie cinétique (conservation de la quantité de mouvement du système), on dit que le choc (Dès que deux entitées interagissent de manière violente, on dit qu'il y a choc, que ce soit de...) est élastique. Les formules traduisant la conservation du quadrivecteur du système formé par ces deux particules permet d'analyser la collision. En mécanique newtonienne (La mécanique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein,...) la direction des deux particules après un choc forme un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) droit. Ce qui n'est pas le cas dans le cas des chocs entre particules relativistes où leurs directions forment un angle aigu. Ce phénomène est parfaitement visible sur les enregistrements de collisions effectués dans des chambres à bulles.

Collision élastique entre deux particules de même masse

Considérons un électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge...) de masse m et d'énergie très élevée frappant un autre électron intialement au repos. Les vecteurs impulsions des deux particules sont tracés sur la figure ci-contre. Avant le choc l'impulsion de l'électron incident est \vec{p}. Après le choc, les impulsions des deux électrons sont \vec{p}_1 et \vec{p}_2. En écrivant l'énergie d'un électron comme la somme de son énergie au repos mc2 et de son énergie cinétique K, on peut écrire l'énergie totale du système avant la collision comme :

E\,=\,mc^2 + mc^2 + K

De même,

E_1\,=\,mc^2 + K_1
E_2\,=\,mc^2 + K_2\,.

La loi de conservation (En physique, une loi de conservation (rien ne se perd, rien ne se crée) exprime qu'une propriété...) de l'énergie dit que E = E + E et par conséquent

K\,=K_1 + K_2\,,

formule indiquant bien que l'énergie cinétique est conservée elle aussi (collision élastique).

La loi de conservation de la quantité de mouvement dit que

\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2\,,

et par conséquent si nous appelons θ l'angle entre les deux vecteurs \vec{p}_1 et \vec{p}_2, on a la relation

p^2\,=\,p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1p_2\cos\theta

d'où l'on tire

\cos\theta\,=\,\frac{p^2 - (p_1^2 + p_2^2)}{2p_1p_2}\,.

En exprimant le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de l'impulsion des différents électrons en fonction de leur énergie et de leur masse à l'aide des formules indiquées on obtient

p^2c^2\,=\,(mc^2 + K)^2 - m^2c^4 = K^2 + 2Kmc^2

pour l'électron incident et

p_1^2c^2\, = \,E_1^2 - m^2c^4 = (mc^2 + K_1)^2 - m^2c^4= K_1^2 + 2K_1mc^2
p_2^2c^2\, = \,E_2^2 - m^2c^4 = (mc^2 + K_2)^2 - m^2c^4= K_2^2 + 2K_2mc^2

pour les électrons après le choc.

Comme K = K + K on aboutit facilement à la formule finalement simple

\cos\theta\,=\,\frac{K_1K_2}{(K_1^2 + 2K_1mc^2)^{1/2}(K_2^2 + 2K_2mc^2)^{1/2}}\equiv \left(1 + \frac{2mc^2}{K_1}\right)^{-1/2}\left(1 + \frac{2mc^2}{K_2}\right)^{-1/2}

Cette formule montre que cos θ est positif et donc que les directions des électrons de l'état final font entre elles un angle aigu.

On trouve facilement dans la littérature le traitement du cas où le choc est symétrique, les deux électrons possédant chacun la même énergie K = K = K/2. Dans cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) particulière la formule générale devient

\cos\theta=\frac{K}{K+4mc^2}       pour une collision symétrique.
  • Dans la limite newtonienne des faibles vitesses, les énergies cinétiques sont beaucoup plus petites que l'énergie au repos mc2 et par conséquent
\cos\theta=\lim_{v \to 0}\frac{\sqrt{K_1K_2}}{2mc^2}=0
tend vers zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), ce qui signifie que l'angle θ tend vers π /2. C'est le résultat non relativiste.
  • Dans la limite au contraire des très hautes énergies, ce sont les termes d'énergie cinétique qui sont beaucoup plus grands que le terme mc2 et par conséquent
\cos\theta \simeq 1 - \frac{mc^2}{K_1}- \frac{mc^2}{K_2}\,.
Dans ce cas le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) tend vers 1, ce qui signifie que l'angle entre les vitesses des électrons tend vers zéro. Cela implique un comportement complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) différent du cas newtonien.

Les formules s'appliquent évidemment au cas de la collision entre deux protons.

Diffusion Compton (En physique, la diffusion Compton est la diffusion inélastique d'un photon sur un...)

Une application physique des formules de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement d'un système de particules est fournie par l'analyse de la collision entre un photon (En physique des particules, le photon (souvent symbolisé par la lettre γ — gamma)...) de haute énergie et un électron au repos, choc constituant ce que l'on appelle la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de...) Compton.

Page générée en 0.988 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique