Relativité restreinte - Définition

Exemples des rayons cosmiques et des muons

On détecte en astronomie des particules porteuses d'une énergie colossale : les rayons cosmiques. Bien que leur mécanisme de production demeure encore mystérieux, on peut mesurer leur énergie. Les nombres considérables que l'on obtient montrent que leur analyse exige l'emploi des formules de la relativité restreinte. Les rayons cosmiques fournissent donc une illustration idéale de la théorie d'Einstein.

On détecte des particules jusqu'à des énergies invraisemblables de l'ordre de 10²⁰ électron-volts, soit cent millions de TeV. Supposons donc qu'un rayon cosmique soit un proton de 10²⁰ eV. Quelle est la vitesse de cette particule ?

Dans l' donnant l'énergie E, le terme m c² représente l'énergie de la masse au repos de la particule. Celle du proton est d'environ 1 GeV, soit 10⁹ eV. Le rapport entre E et m c² est donc égal à 10²⁰/10⁹=10¹¹ et n'est autre que le fameux facteur d'étirement du temps . Quelle est la vitesse de ce proton ? En écrivant on trouve que

Autrement dit la vitesse du proton considéré est quasiment égale à la vitesse de la lumière. Elle n'en diffère que par moins de 10^-22 (mais ne peut en aucun cas l'égaler).

Voyons ce que ces chiffres impliquent pour les facteurs relativistes existant entre le référentiel propre de la particule et le référentiel terrestre. Notre propre Galaxie,de diamètre environ cent mille années-lumière est traversée par la lumière en cent mille ans. Par conséquent pour un observateur terrestre le proton traverse cette Galaxie dans le même temps. L'extraordinaire c'est que dans le référentiel du proton relativiste, le temps correspondant est 10¹¹ fois plus faible, et vaut donc 30 secondes (une année fait 3×10⁷ secondes) !

Notre proton ultra-relativiste et ultra-énergétique traverse notre Galaxie en 30 secondes de son temps propre mais en 100 000 ans de notre temps terrestre.

Cascade de particules atmosphériques déclenchée par un proton incident

Lorsque ce rayon cosmique heurte un atome d'oxygène ou d'azote de l'atmosphère terrestre à une altitude de l'ordre de 20 à 50 kilomètres au-dessus du sol, une gerbe de particules élémentaires se déclenche contenant en particulier des muons. Une partie d'entre eux se dirigent vers le sol avec une vitesse pratiquement égale à celle de la lumière, de 300 000 kilomètres par seconde dans le référentiel terrestre. Ces particules traversent donc les quelque 30 kilomètres d'atmosphère en 10^-4 seconde (ou 100 microsecondes).

Dans le référentiel où il est au repos, un muon a une demi-vie de 2 μs (2 microsecondes, ou 2×10^-6 s). Cela signifie que parmi un ensemble de muons produits au sommet de l'atmosphère, la moitié auront disparu au bout de 2 microsecondes, transformés en d'autres particules. Une moitié des muons restants disparaîtront au bout d'encore 2 microsecondes et ainsi de suite. Si la demi-vie était la même (2 microsecondes) dans le référentiel terrestre, en 10^-4 seconde de traversée de l'atmosphère les muons auraient compté 10^-4 / 2×10^-6 = 50 demi-vies. Par conséquent leur nombre serait réduit à l'arrivée au sol par un facteur de (1/2)⁵⁰soit environ 10^-15 de sorte qu'en pratique aucun muon ne l'atteindrait.

Or les mesures indiquent qu'environ 1/8, soit (1/2)³, des muons initiaux parviennent à la surface terrestre, ce qui prouve qu'ils n'ont subi que 3 divisions de leur nombre par 2 et non 15. Autrement dit le temps de traversée de l'atmosphère dans leur référentiel propre est de 3 demi-vies et non 50, soit 6 microsecondes seulement (et non 100 microsecondes). Ce résultat constitue une preuve forte de la justesse de la relativité restreinte et notamment du phénomène d'étirement du temps propre (ici celui du muon) lorsqu'on effectue les mesures dans un référentiel extérieur (ici celui de la Terre). Dans l'exemple numérique choisi le facteur de dilatation du temps γ = [1 − (v / c)²] ^{− (1 / 2)} est de 100/6.

On peut en déduire la vitesse et l'énergie des muons. En effet, on a comme dans le calcul précédent

ce qui conduit à

Comme la masse d'un muon est d'environ 100 MeV, l'énergie de la particule est 100/6 fois plus grande, soit d'environ 2000 MeV ou 2 GeV.