Solide d'Archimède - Définition
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Introduction
En géométrie, un solide d'Archimède est un polyèdre convexe semi-régulier, fortement symétrique composé de deux sortes (ou davantage) de polygones réguliers se rencontrant à des sommets identiques. Ils sont distincts des solides de Platon, qui sont composés d'une seule sorte de polygones se rencontrant à des sommets identiques, et des solides de Johnson, dont les faces polygonales régulières ne se rencontrent pas à des sommets identiques. La symétrie des solides d'Archimède exclut les membres du groupe diédral, les prismes et les antiprismes.
Les solides d'Archimède peuvent tous être construits via les constructions de Wythoff à partir des solides de Platon avec les symétries tétraédrique, octaédriques et icosaédriques. Voir polyèdre uniforme convexe.
Origine du nom
Les solides d'Archimède tirent leurs noms du mathématicien grec Archimède, qui les étudia dans un ouvrage actuellement perdu. Pendant la Renaissance, les artistes et les mathématiciens ont évalué les formes pures et ont redécouvert toutes ces formes. Cette recherche fut complétée aux alentours de 1619 par Johannes Kepler, qui définit les prismes, les antiprismes et les solides réguliers non-convexes connus sous le nom de solides de Kepler-Poinsot.
Classification
Il existe 13 solides d'Archimède (15 si l'on compte l'image chirale (dans un miroir) de deux solides énantiomorphes, (voir ci-dessous). Ici, la configuration de sommet fait référence au type de polygones réguliers que l'on rencontre à un sommet donné quelconque (Symbole de Schläfli). Par exemple, une configuration de sommet de (4,6,8) signifie qu'un carré, un hexagone et un octogone se rencontrent à un sommet (avec l'ordre pris dans le sens horaire autour du sommet).
Le nombre de sommets est 720° divisé par l'angle de déflection du sommet.
| Nom | Solide | Faces | Arêtes | Sommet | Configuration de sommet | Groupe de symétrie | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre tronqué |  | 8 | 4 triangles 4 hexagones | 18 | 12 | 3,6,6 | Td |
| Cube tronqué ou hexaèdre tronqué |  | 14 | 8 triangles 6 octogones | 36 | 24 | 3,8,8 | Oh |
| Octaèdre tronqué |  | 14 | 6 carrés 8 hexagones | 36 | 24 | 4,6,6 | Oh |
| Dodécaèdre tronqué |  | 32 | 20 triangles 12 décagones | 90 | 60 | 3,10,10 | Ih |
| Icosaèdre tronqué ou Buckyball ou ballon de foot |  | 32 | 12 pentagones 20 hexagones | 90 | 60 | 5,6,6 | Ih |
| Cuboctaèdre |  | 14 | 8 triangles 6 carrés | 24 | 12 | 3,4,3,4 | Oh |
| Cube adouci (2 formes chirales) |   | 38 | 32 triangles 6 carrés | 60 | 24 | 3,3,3,3,4 | O |
| Icosidodécaèdre |  | 32 | 20 triangles 12 pentagones | 60 | 30 | 3,5,3,5 | Ih |
| Dodécaèdre adouci (2 formes chirales) |   | 92 | 80 triangles 12 pentagones | 150 | 60 | 3,3,3,3,5 | I |
| Petit rhombicuboctaèdre |  | 26 | 8 triangles 18 carrés | 48 | 24 | 3,4,4,4 | Oh |
| Cuboctaèdre tronqué |  | 26 | 12 carrés 8 hexagones 6 octogones | 72 | 48 | 4,6,8 | Oh |
| Petit rhombicosidodécaèdre ou rhombicosidodécaèdre |  | 62 | 20 triangles 30 carrés 12 pentagones | 120 | 60 | 3,4,5,4 | Ih |
| Icosidodécaèdre tronqué |  | 62 | 30 carrés 20 hexagones 12 décagones | 180 | 120 | 4,6,10 | Ih |
Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre ont des arêtes uniformes et ont été appelés quasi-réguliers.
Le cube adouci et le dodécaèdre adouci sont chiraux, ils sont de deux formes, (lévomorphe et dextromorphe). Lorsqu'un objet possèdes plusieurs formes qui sont images miroir les unes des autres en trois dimensions, ces formes sont appelées énantiomorphes. (Cette nomenclature est aussi utilisée pour les formes de composés chimiques, voir énantiomère).
Les duaux des solides d'Archimède sont appelés les solides de Catalan. Avec les bipyramides et les trapèzoèdres, ils sont les solides à faces uniformes avec des sommets réguliers.
