Système de numération

Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces derniers sont nés, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation.

Certains nombres bénéficient exclusivement d'un nom simple, comme mille en français. Dans le cas contraire, plusieurs principes permettent de les composer.

• L'addition : dix-sept en français (10+7) ;
• la multiplication : deux cents en français (2×100) ;
• la soustraction : dix-huit se dit duodeviginti en latin classique (deux-de-vingt, 20-2) ;
• la division : une manière de dire cinquante est hanter-kant en breton (moitié-[de-]cent, 100/2) ;
• la protraction (terme introduit par Claude Hagège) : trente-cinq se disait holhu ca kal en yucatèque (cinq-dix deux vingts, 15 2×20, soit 15 vers 2×20 ou 15 à partir de la vingtaine précédant 2×20, soit 15+20). Dans l'expression de 35 (comme dans celle de trente) il convient de restituer un relateur sous-entendu (ou effacé) qui était tu (en réalité ti+u avec ti = locatif 'vers' et u = indice personnel de 3 personne 'son' qui, dans ce contexte, servait à dériver l'ordinal depuis le cardinal; si bien que l'expression de 35 doit s'analyser comme étant "15 vers la deuxième vingtaine".

Un système auxiliaire est parfois utilisé. Par rapport au système principal, celui-ci peut-être :

• inférieur : la numération wolof est décimale mais utilise un système quinaire auxiliaire, vingt-six se dit ñaar fukk ak juroom benn en wolof (deux dix et cinq un, 2×10+5+1) ;
• supérieur : la numération basque est décimale mais utilise un système vicésimal auxiliaire, cent cinquante-deux se dit en ehunta berrogeita hamabi en basque (cent-et deux-vingts-et dix-deux, 100+2×20+10+2). De même, en français de France persistent quatre-vingt et quatre-vingt-dix (au lieu d'huitante en Suisse et de nonante en Suisse et en Belgique), qui proviennent du système vicésimal médiéval, utilisé de façon auxiliaire au système principal décimal d'origine latine.

Enfin, certains nombres bénéficient d'une construction indépendante de la base employée. Ainsi, une manière de dire, respectivement, dix-huit, quarante-cinq et quarante-neuf, en breton, est triwec'h (trois-six, 3×6) ou daounav (deux-neuf, 2×9), pemp nav (cinq neuf, 5×9) et seizh seizh (sept sept, 7×7). Il va de soi que cette dernière forme ne provient pas d'une base sept, mais de la valeur symbolique de ce nombre. Les trois dernières formes citées ne sont plus guère employées.

Lecture des numéros

L'usage dans les différentes langues pour les numéros diffère largement dans la façon de grouper les chiffres : il est ainsi courant de grouper les chiffres par deux en français pour énoncer les nombres longs comme les numéros de téléphone, d'immatriculation, numéros de série, etc. Quand le groupement utilisé est ambigu dans la communication verbale, cela peut parfois produire des ambiguïtés de communication (par exemple « huit cent huit cent » pourrait vouloir dire « 800 800 » ou « 808 100 » si le ton ou le rythme n'est pas marqué pour séparer clairement les groupes dans l'énoncé d'un numéro de téléphone par exemple, ce qui est évité avec les systèmes de numération symbolique ; c'est pourquoi les nombres longs sont cités plutôt avec des groupes de deux chiffres sans lever toutefois toutes les ambiguïtés comme par exemple « vingt quatre vingt cinq » qui pourrait vouloir dire « 24 25 » ou « 20 85 » en français de France, difficulté qui n'existe pas en français suisse ou l'ancien système vicésimal; cette difficulté se lève toutefois en marquant les pauses entre chaque groupe, et en évitant toute pause au milieu du nombre « quatre-vingt » en français oral de France ; pour l'écriture, c'est le trait d'union qui lève l'ambiguïté en liant les mots composant le même groupement de chiffres, mais la notation symbolique est nettement préférable pour de tels numéros car plus simple et non ambiguë.)

Les peuples se servent traditionnellement des parties de leur corps pour compter. Pour un compte décimal ou quinaire, les doigts sont généralement mis à contribution. Les Yukis, qui emploient un système octal, utilisent des espaces entre les doigts pour compter. Le peuple chepang, qui emploie un système duodécimal, se sert du pouce pour compter sur les phalanges des doigts. Bien d'autres procédés encore ont été employés.

On distingue schématiquement trois familles de systèmes de notation.

• Les systèmes additifs utilisent des symboles pour représenter certains nombres, les autres nombres s'obtenant par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs de chaque symbole pour retrouver la valeur du nombre. C'est le cas des systèmes de numération grec, égyptien, gotique, ou plus simplement du système unaire ou de la numération forestière. C'est aussi le cas avec une variante soustractive pour le système de numération romain.
• Les systèmes hybrides utilisent des symboles différents pour les puissances de la base et pour les nombres inférieurs à la base écrits devant le symbole. Les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération chinois et japonais. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre deux-mille-huit-cent-dix-sept, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.)
• Les systèmes positionnels utilisent un symbole à chaque position, la place du symbole dans l'écriture du nombre indiquant le poids qui lui est affecté (poids n=1, poids n=n, poids n, … pour une base n). C'est le cas des systèmes de numération maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe, qui sont à l'origine des mathématiques modernes, celles-ci permettant désormais d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, à l'aide du zéro positionnel.

Définition

Un système de numération est un triplet (X , I , ϕ), où X est l'ensemble à énumérer, I est un ensemble fini ou dénombrable de chiffres et ϕ est une application injective dans les suites de chiffres $\Phi :X\hookrightarrow I^{\mathbb{N}}$, $x\mapsto ({ϵ}_n(x){)}_{n\ge 1}$.

En notation décimale, X est l'ensemble des entiers naturels, $I=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ est l'ensemble des chiffres décimaux et la suite associée à un nombre entier est la suite de ses chiffres décimaux.

L’application ϕ est appelée application de représentation, et ϕ(x) est la représentation de x∈X.

Les suites admissibles sont définies comme les représentations images ϕ(x), pour x∈X.

Exemples

• La représentation q-adique, ou écriture en base q: tout entier naturel s'écrit de manière unique comme $n={\sum }_{i=0}^N{ϵ}_k(n)q^k$, avec les chiffres $0\le {ϵ}_k(n)<q$ et ${ϵ}_N(n)\ne 0$ où $N=\lfloor \frac{\log (n)}{\log (q)}\rfloor +1$ est le nombre de chiffres de n en base q. De même, tout réel peut s'écrire, de manière unique si son développement est propre (pas de suite infinie de q-1 comme 0,999...=1), comme $n={\sum }_{i=-\infty }^N{ϵ}_k(n)q^k$.
• La représentation de Zeckendorf: Les nombres de Fibonacci F₀ = 1, F₁ = 2, F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_n permettent d'écrire tout entier naturel de manière unique comme $n={\sum }_{i=0}^N{ϵ}_k(n)F_k$, avec les chiffres ${ϵ}_k(n)\in \{0,1\}$ et ${ϵ}_N(n)\ne 0$.
• La représentation en fractions continues: Tout nombre réel peut s'écrire (de manière unique si le développement est propre) $x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots }}}$ avec $a_0\in \mathbb{Z}$ et $a_k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pour k>0.
• La β-numération où β est une base non entière, la base d'or en est un exemple.
• La décomposition en nombres premiers est un système de numération,

$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\exists !({\alpha }_p)p\in \mathcal{P}\in {\mathbb{N}}^{(\mathcal{P})}:n=\prod p\in \mathcal{P}{p}^{{\alpha }_p}$.

• Le système modulaire de représentation (RNS) permet, à l'aide d'une base $\{m_1,m_2,\dots ,m_n\}$ de modules mutuellement premiers entre eux, d'énumérer tous les nombres entiers $0\le x<M$ jusqu'à $M={\prod }_{i=1}^n{m}_i$ par leur suite de restes $(x(\mathrm{mod}{m}_i){)}_{1\le i\le n}$ en utilisant le théorème des restes chinois.

Système de numération fibré

Les chiffres proviennent d'une transformation non injective $T:X\to X$

• En représentation q-adique, le "chiffre des unités" est donné par $ϵ(n)=n(\text{mod}q)$ et la suite des chiffres par ε_k(n) = ε(T(n)) où T est l'application T(n) = (n − ε(n)) / q.
• La suite des chiffres de la représentation en fractions continues provient de $ϵ(x)=\lfloor 1/x\rfloor$ et l'application de Gauss T(x) = 1 / x − ε(x).