Théorie algébrique des nombres - Définition
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Arithmétique modulaire
Si l'équation devient plus difficile, comme par exemple la recherche de solutions entières de l'équation x2 + 2y2 = p avec p un nombre premier, les techniques précédentes imposent des calculs de plus en plus astucieux et complexes. Dans certains cas, comme pour la loi de réciprocité quadratique, aucune solution n'est trouvée au XVIIIe siècle par les grands arithméticiens qui se penchent sur la question : Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre et Joseph-Louis Lagrange.
La technique qui, finalement, en vient à bout consiste à étudier des nouveaux nombres et surtout les propriétés structurelles que possèdent leurs ensembles munis de l'addition et de la multiplication. Un de ces ensembles est composé des restes de la division euclidienne d'un entier par p, si p est un nombre premier. Muni d'une multiplication naturelle (cf l'article Anneau Z/nZ), il forme un groupe cyclique. L'étude de ce groupe permet de venir à bout de la loi de réciprocité quadratique. Une autre famille d'ensembles s'avère utile, ceux de la forme a + ξ.b ou a et b sont des entiers et ξ une solution d'une équation du second degré. Pour certaines valeurs de ξ comme i l'unité imaginaire, j la racine troisième de l'unité dans les nombres complexes ou 1/2(1 + √5), il est possible de définir une division euclidienne. L'analyse de la structure abstraite des anneaux possédant une division euclidienne, appelés anneaux euclidiens, permet de résoudre des questions jusqu'alors inaccessibles, comme le dernier théorème de Fermat pour n égal à 3 ou 5.
