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Volume

En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) se mesure en mètre cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de...) dans le système international. On utilise fréquemment le litre (Le litre (du grec λίτρα lítra, ancienne mesure de capacité – une livre de douze onces – égale au seizième du boisseau soit 0,813 litre) est une unité de...), notamment pour des liquides.

Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands...) associée est la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.).

En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace est sa mesure. Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce...) caractéristiques. En géométrie euclidienne, le volume du parallélépipède engendré par 3 vecteurs non coplanaires (\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3) se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs : V = |\det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)|. Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculé grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Unités de volume

L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la...) anglosaxons (voir Conversion des unités)).

Les volumes de matière liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'unités de volume utilisées qui dans l'ancien régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni...) où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécule) contenue dans un volume donné quelle que soit la pression et la température, deux définitions de correction existent :

  • le mètre cube dit normal exprimé en m3(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013,25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 atm) et une température de 0°C.
  • le mètre cube dit standard exprimé en m3(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013,25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 atm) et une température de 15°C.

Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématique, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.

Quelques formules

Dans la suite on notera

  • V le volume
  • B ou b l'aire de la base ou des bases
  • H : hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) (ou distance séparant les deux faces)
  • D ou d le diamètre
  • R ou r le rayon
  • a l'arête
  • L ou l : la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme...) et la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite...) d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.)

Les solides de Platon

Animation d'un Tétraèdre
Animation d'un cube

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre est a\,, on a

  • Pour le tétraèdre : V = \frac{1}{12}\sqrt{2}a^3
  • Pour le cube : V = a^3\,
  • Pour l'octaèdre : V = \frac 13 \sqrt 2 a^3
  • Pour le dodécaèdre : V = \frac 14(15 + 7\sqrt 5)a^3
  • Pour l'icosaèdre : V = \frac 56\varphi^2a^3\varphi est le nombre d'or

Les prismes et cylindres

La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur

  • Le prisme droit : V =B \times H
  • Le parallélépipède rectangle ou pavé : V = L \times l \times H
  • Le cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice et gardant une direction...) de révolution : V = πR2H

Les pyramides et cônes

La formule générale est toujours  : V = \frac 13 B \times H

  • Le cône de révolution : V =  \frac{\pi}{3}R^2H
  • Le cône (ou la pyramide) tronqué(e) par un plan parallèle à la base : V={H\over3} (B+b+\sqrt{Bb})

La boule

  • La sphère : V = {4 \over 3} \pi R^3 ou V = \pi {D^3 \over 6}
  • La calotte sphérique : V = \frac{\pi}{3}H^2(3R-H)R est le rayon de la boule et H la hauteur de la calotte.
  • La sphère percée d'un cylindre (rond de serviette) : V = \frac{\pi}{6} H^3
  • Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : V = \frac 23 \pi R^2HH est la hauteur de la calotte et R le rayon de la boule.

Solides de révolution

Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique,...) S plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent...) d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité G de l'élément de surface S.

V = 2\pi R\cdot SR est la distance séparant le point (Graphie) G de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

  • le tore : V = 2π2Rr2r est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) de centre G tournant autour de l'axe (Δ) et où R est la distance de G à (Δ).
  • le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces triangulaires (n ≥ 3). En...), un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde elliptique, un ellipsoïde de révolution. Si B1 et B2 sont les surfaces des bases et B3 la surface de la section à mi-hauteur alors
V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)

Autres

  • Le conoïde circulaire droit (exemple l'incisive) : V = \frac 12 \pi R^2HR est le rayon du cercle de base et H la hauteur du conoïde.
  • Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : V = \frac h6(B_1+B_2+4B_3)B1 et B2 sont les surfaces des deux bases rectangulaires et B3 la surface de la section à mi-hauteur.

Volume et calcul intégral

Si \mathcal D est une partie bornée de \R^2, le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de \mathcal D, délimité par le plan z = 0 et la surface d'équation z = f(x,y) – avec f positive et continue sur \mathcal D – est :

V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

Dans le cas où le domaine \mathcal D est défini par des conditions simples x1 < x < x2, y1(x) < y(x) < y2(x), ce calcul se ramène à  :

V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x

Si \mathcal A est une partie bornée de \R^3 et si la fonction constante 1 est intégrable sur \mathcal A, le volume de \mathcal A est alors

V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Dans le cas où le domaine \mathcal A est défini par des conditions simples x1(z,y) < x(z,y) < x2(z,y), y1(z) < y(z) < y2(z) et z1 < z < z2, ce calcul se ramène à :

V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine \mathcal A s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples \mathcal A', le calcul peut s'exprimer par

V =  \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz\mathcal A' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi] \times \R

Si le domaine \mathcal As'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples \mathcal A'', le calcul peut s'exprimer par

V =  \iiint _{\mathcal A''} r^2\sin(\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\mathcal A'' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi].

Dans le cas où le domaine \mathcal A est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) d'équation y = f(x) autour de l'axe (Ox), le calcul du volume se réduit à une intégrale simple

V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm{d}x

Enfin, le théorème de Green-Ostrogradsky permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S

\part\mathcal A est la frontière de \mathcal A, et \vec n le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) unitaire normal à dS dirigé vers l'extérieur de \mathcal A.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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