En physique (La physique (du grec φυσικη) est étymologiquement la science de la nature. Son champ...), le volume (En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois...) d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois directions en même temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les...), de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps.

Le volume se mesure en mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini...) cube (En géométrie élémentaire, un cube est un prisme dont les côtés sont tous égaux. Les cubes figurent parmi les solides...) dans le système international. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides.

Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou...) associée est la pression (La pression est la force exercée sur une surface donnée.).

En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace est sa mesure. Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa...) caractéristiques. En géométrie euclidienne (La géométrie (Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans...) euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances...), le volume du parallélépipède (En géométrie dans l'espace, les parallélépipèdes sont des hexaèdres dont les six faces sont des parallélogrammes.) engendré par 3 vecteurs non coplanaires se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs : . Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculé grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Unités de volume

L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de...) anglosaxons (voir Conversion des unités)).

Les volumes de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont...) liquide (La phase liquide est un état de la matière.) ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) d'unités de volume utilisées qui dans l'ancien régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz (Au niveau microscopique, on décrit un gaz comme un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi...) où l'on veut connaître la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre...) de matière (nombre de molécule) contenue dans un volume donné quelle que soit la pression et la température (La température d'un système est une fonction croissante du degré d'agitation thermique des particules, c'est-à-dire de...), deux définitions de correction existent :

• le mètre cube dit normal exprimé en m³(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013,25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 atm) et une température de 0°C.
• le mètre cube dit standard exprimé en m³(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013,25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 atm) et une température de 15°C.

Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée (La quantité estimée est une notion, introduite par des directives de la CEE, concernant l'harmonisation (rapprochement...). Ils sont marqués comme tel, d'un "e" minuscule.

En mathématique (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...), l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.

Quelques formules

Dans la suite on notera

• V le volume
• B ou b l'aire de la base ou des bases
• H : hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) (ou distance séparant les deux faces)
• D ou d le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du...)
• R ou r le rayon
• a l'arête
• L ou l : la longueur (La longueur d’un objet représente la distance entre deux de ses extrémités, les plus éloignées possibles. Lorsque...) et la largeur d'un rectangle

Les solides de Platon

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le...) est , on a

• Pour le tétraèdre :
• Pour le cube :
• Pour l'octaèdre :
• Pour le dodécaèdre :
• Pour l'icosaèdre : où est le nombre d'or

Les prismes et cylindres

La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur

• Le prisme droit :
• Le parallélépipède rectangle ou pavé :
• Le cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point...) de révolution : V = πR²H

Les pyramides et cônes

La formule générale est toujours  :

• Le cône de révolution :
• Le cône (ou la pyramide) tronqué(e) par un plan parallèle à la base :

La boule

• La sphère : ou
• La calotte sphérique : où R est le rayon de la boule et H la hauteur de la calotte.
• La sphère (Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé...) percée d'un cylindre (rond de serviette) :
• Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : où H est la hauteur de la calotte et R le rayon de la boule.

Solides de révolution

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être...) de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface S plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de...) autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) G de l'élément de surface S.

où R est la distance séparant le point G de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

• le tore : V = 2π²Rr² où r est le rayon du cercle de centre G tournant autour de l'axe (Δ) et où R est la distance de G à (Δ).
• le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide (Cet article traite du polyèdre pyramide (une forme à trois dimensions); pour d'autres versions incluant les pyramides...), un hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des...) à une nappe, un paraboloïde (En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des...) elliptique, un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc...) de révolution. Si B₁ et B₂ sont les surfaces des bases et B₃ la surface de la section à mi-hauteur alors

Autres

• Le conoïde (En géométrie, un conoïde est une surface réglée dont toutes les droites (génératrices) sont parallèles à un plan...) circulaire droit (exemple l'incisive) : où R est le rayon du cercle de base et H la hauteur du conoïde.
• Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : où B₁ et B₂ sont les surfaces des deux bases rectangulaires et B₃ la surface de la section à mi-hauteur.

Volume et calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.)

Si est une partie bornée de , le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de , délimité par le plan z = 0 et la surface d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de...) z = f(x,y) – avec f positive et continue sur – est :

Dans le cas où le domaine est défini par des conditions simples x₁ < x < x₂, y₁(x) < y(x) < y₂(x), ce calcul se ramène à  :

Si est une partie bornée de et si la fonction constante 1 est intégrable sur , le volume de est alors

Dans le cas où le domaine est défini par des conditions simples x₁(z,y) < x(z,y) < x₂(z,y), y₁(z) < y(z) < y₂(z) et z₁ < z < z₂, ce calcul se ramène à :

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples , le calcul peut s'exprimer par

où est une partie bornée de

Si le domaine s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples , le calcul peut s'exprimer par

où est une partie bornée de .

Dans le cas où le domaine est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation y = f(x) autour de l'axe (Ox), le calcul du volume se réduit à une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une...) simple

Enfin, le théorème de Green-Ostrogradsky permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

où est la frontière de , et le vecteur unitaire normal à dS dirigé vers l'extérieur de .