Paraboloïde
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En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie.

Certaines sections d'un paraboloïde (En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie.) avec un plan sont des paraboles. D'autres sont, selon le cas, des ellipses ou des hyperboles. On distingue donc les paraboloïdes elliptiques et les paraboloïdes hyperboliques.

Paraboloïde elliptique

Paraboloïde de révolution
Paraboloïde de révolution

Cette surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) peut s'obtenir en faisant glisser une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses...) sur une autre parabole tournant sa concavité dans la même direction.

Dans un repère bien choisi, son équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) est de la forme

\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 - z = 0

Le cas a = b fournit, en repère orthonormal, le cas particulier du paraboloïde de révolution. Ses sections avec un plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la...) à l'axe de rotation sont alors des cercles. Le schéma ci-contre représente, pour x et y compris entre -1 et 1, la surface d'équation z = x2 + y2. Les cercles " horizontaux " se voient en trait bleu-vert et les paraboles " verticales " en trait jaune (Il existe (au minimum) cinq définitions du jaune qui désignent à peu près la même couleur :).

Cette surface possède des applications classiques dans le domaine des miroirs. Elle donne sa forme autant à des projecteurs comme les phares de voiture qu'à des capteurs (Un capteur est un dispositif qui transforme l'état d'une grandeur physique observée en une grandeur utilisable, exemple : une tension électrique, une hauteur de mercure, une intensité, la déviation d'une aiguille…. On fait...) comme les antennes paraboliques ou les fours solaires tels que celui d'Odeillo près de Font-Romeu dans les Pyrénées-Orientales. L'avantage d'une surface parabolique par rapport à une découpe sphérique est la concentration des rayons réfléchis en un seul point : le point (Graphie) focal. Une surface sphérique ne va pas réflechir les rayons en un seul point mais va les disperser sur son axe de rotation en fonction de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) d'incidence.

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) du bol paraboloïde elliptique de hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) h est donné par la formuleV = \frac{1}{2} S h, où S désigne l'aire de l'ellipse qui le délimite.

Paraboloïde hyperbolique

Paraboloïde hyperbolique
Paraboloïde hyperbolique

Cette surface peut s'obtenir en faisant glisser une parabole sur une autre parabole tournant sa concavité dans la direction opposée. C'est aussi une surface réglée qu'on peut engendrer par le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture navale,...) d'une droite s'appuyant sur deux droites fixes non coplanaires.

Dans un repère bien choisi, son équation est de la forme

\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 - z = 0\,\!

La forme particulière de cette surface lui vaut le surnom de selle de cheval. Le schéma ci-contre représente, pour x et y compris entre -1 et 1, la surface d'équation z=x^2-y^2\,\!. On reconnaît, en jaune, des hyperboles " horizontales " qui dégénèrent en droites sécantes pour z=0\,\!, et, en violacé, des paraboles " verticales ".

La selle de cheval se distingue de la selle de singe (lien), plus générique, parce qu'elle représente un minimax (selon le plan sécant utilisé, on trouve soit un minimum, soit un maximum). La selle de singe n'a pas cette propriété. Elle peut être visualisée comme une selle sur laquelle un singe pourrait s'asseoir sans gêner ses jambes ni sa queue. Voici un exemple de selle de singe :

z = x \left( x^2 - ay^2 \right)\,\!


Les solides géométriques
Les solides de Platon
Tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) - Cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul ayant...) - Octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six...) - Icosaèdre (Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) - Dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.)
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points...) - Cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice et gardant une...) de révolution - Cône de révolution - Tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) - Paraboloïde de révolution
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