Force conservative
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Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d'action. Si ce n'est pas le cas elle alors dite non-conservative.

Ce type de force possède trois propriétés remarquables :

  1. L'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique. C'est une quantité conservée en l'absence de...) d'un système soumis uniquement à l'action de forces conservatives est conservée.
  2. Il existe un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) U\,, aussi appelé potentiel, tel que la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) s'écrit \vec{F}=-\vec{\nabla}\,U\,.
  3. Si le point (Graphie) d'application d'une force conservative (Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d'action. Si ce n'est pas le cas elle alors dite non-conservative.) se déplace d'un point A à un point B, le travail W\, de la force en question s'obtient simplement à partir du potentiel U\,: W=U(A)-U(B)\,.

Exemples courants de forces conservatives et non-conservatives

  • La force électrique qui dérive du potentiel électrique (Le potentiel électrique est l'une des grandeurs définissant l'état électrique d'un point de l'espace. Son unité est le volt.).
  • La force gravitationnelle qui dérive du potentiel de gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.).
  • La force de Lorentz (En physique, la force de Lorentz désigne :)[1] ne travaillant pas mais ne dérivant pas d'un potentiel, on ne les place donc pas dans la catégorie des forces conservatives.
  • Les forces de frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.), qu'il s'agisse de frottement solide ou de frottement fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu compressibles. Dans certaines conditions...) ne sont pas des forces conservatives car leur travail dépend explicitement du chemin suivi par le système.
  • Les forces de pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) ne sont pas conservatives car au cours de l'évolution de l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) est transmise à l'environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et artificiels au sein duquel se déroule la vie humaine. Avec les enjeux écologiques actuels, le terme environnement tend actuellement à prendre une...) extérieur au système.

Indépendance du chemin suivi

Considérons une particule matérielle se déplaçant d'un point A vers un point B, et sur lequel s'exerce une force \vec{F} conservative, alors le travail produit par cette force ne dépend pas du chemin suivi par le solide. Ainsi pour deux trajectoires C1 et C2 reliant le point A au point B, la force fournit le même travail :

Image:Chemins_d_intégration.png

W=\oint_{C_1}\vec{F}\cdot\vec{dl}=\oint_{C_2}\vec{F}\cdot\vec{dl}

Une conséquence immédiate de cette propriété est que dans le cas d'une trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) fermée (si la particule retourne à sa position initiale), le travail d'une force conservative est nul.

Potentiel d'une force conservative

Existence du potentiel

Considérons maintenant une force conservative fonction de la position de son point d'application, c'est-à-dire telle que \vec{F} soit une fonction des coordonnées x\,, y\, et z\, alors, en vertu de l'indépendance du chemin suivi, quelle que soit la trajectoire fermée \mathcal{C}\,, le travail de la force est nul :

W=\oint_{\mathcal{C}}\vec{F}(x,y,z)\cdot\vec{dl}=0

dont on déduit d'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Stokes que \vec{\nabla}\wedge\vec{F}=\vec{0}. Cette dernière relation implique l'existence d'un champ scalaire U(x,y,z)\, tel que :

\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,U

CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi que le résultat attendu a été démontré.).

Le champ U\, est appelé potentiel de la force et est homogène à une énergie. Notons que, de par sa définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), le champ U\, est défini à une constante près. La valeur de cette dernière est généralement arbitraire, auquel cas elle est choisie de façon à simplifier les calculs.

Des exemples de champs sont donnés dans l'article sur le potentiel.

Réciproque (La réciproque est une relation d'implication.)

Réciproquement, considérons une force \vec{F} dérivant d'un potentiel U\,:

\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,U

En remarquant que dU=\vec{\nabla}\,U\cdot\vec{dl} est une différentielle totale, on trouve que le travail de la force prend l'expression suivante :

W=\oint_{A}^{B}\vec{F}\cdot\vec{dl}=\oint_{A}^{B}-\vec{\nabla}\,U\cdot\vec{dl} =-\oint_{A}^{B}dU=U(A)-U(B)

Le travail ne dépend donc que de la valeur du potentiel aux points A et B. Le travail d'une force dérivant d'un potentiel ne dépend donc pas du chemin suivi, une telle force est donc conservative. CQFD.

Conservation de l'énergie mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui...)

Les forces conservatives sont appelées ainsi parce l'énergie mécanique d'un système soumis à l'action de forces conservatives est constante : l'énergie du système se conserve.

Cette propriété est une conséquence immédiate du théorème de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son...). Pour un solide parcourant une trajectoire reliant un point A à un point B et soumis à une force conservative de potentiel U\,, on a d'une part égalité entre la variation de l'énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) et le travail de la force :

E_c(B)-E_c(A)=W\,

et d'autre part, le travail de la force conservative qui s'obtient à partir de la variation du potentiel entre les points A et B :

W=U(A)-U(B)\,

dont on déduit immédiatement l'égalité suivante :

E_c(B) + U(B)=E_c(A) + U(A)\,

On voit donc que la somme de l'énergie cinétique et du potentiel se conserve. Cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une...) est précisément l'énergie mécanique du système. L'expression ci-dessus montre clairement que l'énergie totale se répartit entre l'énergie cinétique et le potentiel, et peut donc passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) successivement de l'une à l'autre. C'est pourquoi le potentiel U\, est aussi appelé énergie potentielle : c'est de l'énergie qui peut potentiellement se transformer en énergie cinétique.

Notes

  1. Ainsi que son cas particulier, la force de Laplace (La force de Laplace est une force qui s'exerce sur un fil conducteur () dans lequel passe un courant électrique (I), dans un champ magnétique (). Son expression est :) agissant sur un élément de circuit électrique (Un circuit électrique est un ensemble simple ou complexe de conducteurs et de composants électriques ou électroniques parcouru par un courant électrique.)
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