Loi de Nernst-Einstein
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La loi de Nernst-Einstein est une loi qui intervient dans la migration des espèces dans les solides cristallins, lorsque les espèces sont soumises à une force. Par " espèces ", on entend " défauts cristallins ".

Cette loi permet de calculer la vitesse (On distingue :) de migration des espèces en fonction de l'intensité de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent...) et du coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une...) de diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de...) de l'espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de...) dans le cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que cet usage diffère quelque peu de la définition scientifique de ce mot. Selon l'Union internationale...).

En absence de force

Considérons les mouvements sur un axe x (par exemple par projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface...) sur cet axe).

En absence de force, les défauts migrent aléatoirement, par sauts d'un site à un site voisin. Ces sauts sont possibles grâce à l'agitation (L’agitation est l'opération qui consiste à mélanger une phase ou plusieurs pour rendre une ou plusieurs de ces caractéristiques homogènes. Plusieurs types d'opérations...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des...).

Par unité de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), une espèce a une probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...) Γi de faire un saut vers un site i voisin. La vitesse moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres...) des particules est nulle (cas similaire au mouvement brownien) ; la moyenne quadratique des déplacements <X 2> durant un temps t n'est elle pas nulle et on a :

<X^2> = t \cdot \sum_1^n \Gamma_i \cdot \delta \xi_i

si δξi est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet,...) algébrique (positive ou négative selon la direction de référence) du saut i.

Voir les articles détaillés Diffusion de la matière et Loi de Fick.

Effet d'une force

Lorsque l'espèce est soumise à une force, cela rompt la symétrie des sauts, les probabilités de deux sauts opposés n'est plus égale. Pour simplifier, on ne considère qu'une seule espèce, et un mouvement dans une direction donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.). Si Γ+ est la probabilité que la particule se déplace d'une longueur +δx par unité de temps, et Γ- la probabilité qu'elle se déplace d'une longueur -δx, alors le parcours moyen <X> après un temps t vaut :

<X> = t \cdot (\Gamma_+ - \Gamma_-) \cdot \delta x

Ce qui permet de définir la vitesse moyenne v :

v = \frac{<X>}{t} = (\Gamma_+ - \Gamma_-) \cdot \delta x

Ce mouvement sous l'effet d'une force crée un gradient de concentration. Or, la diffusion aléatoire tend à niveller les concentrations, et donc s'oppose à la migration " forcée ", on a donc deux flux :

  • un flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément le terme est employé dans les...) j 1 créé par la force
    j 1 = v · c, où c est la concentration de l'espèce ;
  • un flux j 2 opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont...) qui suit la loi de Fick
    j_2 = - D \cdot \frac{\partial c}{\partial x}D est le coefficient de diffusion de l'espèce.

Le flux total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le total n'est pas...) vaut donc :

j = v \cdot c - D \cdot \frac{\partial c}{\partial x}.

Régime stationnaire

Si l'on attend " suffisamment longtemps ", on atteint un régime stationnaire : les flux j 1 et j 2 se compensent, on a un gradient de concentration constant. On a donc j = 0, soit, si c(x) est cette concentration constante :

v \cdot c^\infty = D \cdot \frac{\partial c^\infty}{\partial x}

Supposons maintenant que la force soit conservative (cas le plus fréquent). Elle dérive donc d'un potentiel η :

F = - \frac{\partial \eta}{\partial x}.

À l'équilibre dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :), les particules sont réparties suivant une statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode...) de Maxwell-Boltzmann :

c^\infty (x) = c_0 \cdot \exp \left ( - \frac{\eta}{kT} \right )

k est la constante de Boltzmann (La constante de Boltzmann k (ou kB) a été introduite par Ludwig Boltzmann lors de sa définition de l'entropie en 1873. Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre d'évoluer à l'échelle...) et T est la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de...) absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus généralement par chauffe, puis...). En introduisant ceci dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) précédente, on obtient :

v \cdot c_0 \cdot e^{- \frac{\eta}{kT}} = - \frac{D}{kT} \cdot \frac{\partial \eta}{\partial x} \cdot c_0 \cdot e^{- \frac{\eta}{kT}}

ce qui nous donne la loi de Nernst-Einstein (La loi de Nernst-Einstein est une loi qui intervient dans la migration des espèces dans les solides cristallins, lorsque les espèces sont soumises à une force. Par...)

v = \frac{DF}{kT}

Frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.)

Cette loi ressemble à une loi de frottement fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les...). Lors d'une mouvement à faible vitesse dans un fluide non turbulent (Le HMS Turbulent (n° de coque : S 87) est un bâtiment de la classe Trafalgar de sept sous-marins nucléaires d'attaque de la Royal Navy.), on peut estimer que la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, et donc que l'on atteint un régime stationnaire où la vitesse est proportionnelle à la force (c'est le principe du parachute) :

v = B · F

B est la mobilité de l'espèce (Beweglichkeit en allemand).

La loi de Nernst-Einstein nous donne donc :

B = \frac{D}{kT}

d'où l'on déduit la loi d'Einstein :

D = B · kT

Applications

Potentiel chimique

La force Fc résultant du potentiel chimique μ peut s'écrire, à une dimension :

F_c = -\frac{\partial \mu}{\partial x}

et donc l'équation de Nernst-Einstein devient :

v = -\frac{D}{kT} \cdot \frac{\partial \mu}{\partial x}

Champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à...)

Si une particule porte z charges élémentaires e, alors elle subit la force Fe (force électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.) ou force de Coulomb) :

\vec{F_e} = z \cdot e \cdot \vec{E}

Le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) électrique E dérive d'un potentiel V, ce qui s'écrit à une dimension :

E = -\frac{\partial V}{\partial x}

donc la loi de Nernst-Einstein devient :

v =  -\frac{Dze}{kT} \cdot \frac{\partial V}{\partial x}

Considérons le flux de charges jel, également appelé densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le...) de courant électrique (Un courant électrique est un déplacement d'ensemble de porteurs de charge électrique, généralement des électrons, au sein d'un matériau conducteur. Ces déplacements sont imposés par...). On a

jel = z·e· j = z·e· c · v

soit

j_{el} =  \frac{Dz^2e^2c}{kT} \cdot \frac{\partial V}{\partial x}

On peut faire un parallèle avec le loi d'Ohm reliant cette densité de courant (La densité de courant électrique est définie comme le courant électrique par unité de surface (figure). Mathématiquement, le courant et la densité de courant sont liés par la relation :) électrique jel au gradient de potentiel :

j_{el} = - \sigma \cdot \frac{\partial V}{\partial x}

σ étant la conductivité électrique (La conductivité électrique est l'aptitude d'un matériau à laisser les charges électriques se déplacer librement, autrement dit à permettre le passage du courant électrique.), ce qui nous donne

\sigma =  \frac{Dz^2e^2c}{kT}
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