Coefficient binomial - Définition et Explications

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Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…

Définition

Coefficient binomial d'entiers

Le coefficient binomial (En mathématiques, (algèbre et dénombrement) les coefficients binomiaux, définis...) des entiers naturels n et k, noté {n \choose k} ou C_n^k et vaut :

\frac{n (n -1)(n - 2)\cdots (n - k +1)}{k!} = \begin{cases}\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!} & \mbox{si } k \in [\![0;n]\!] \quad\mbox{(1)} \\\qquad 0 & \mbox{sinon}\end{cases}

Ici n ! désigne la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit...) de n. On remarque qu'il existe deux notations : le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) binomial de n et k s'écrit

  • C_n^k\, ou C(n,k)\, et se lit " combinaison de k parmi n " ou aussi " cnk ",
  • ou bien {n \choose k} et se lit " k parmi n ".

Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux :

{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \qquad \mbox{(2)}

Elle donne lieu au triangle de Pascal (En mathématiques, le triangle de Pascal, est une présentation des coefficients binomiaux...) qui permet un calcul rapide des coefficients pour de petites valeurs de n :

 
 ligne 0  1 
 ligne 1  1   1 
 ligne 2  1   2   1 
 ligne 3  1   3   3   1 
 ligne 4  1   4   6   4   1 
 ligne 5  1   5   10  10  5   1 
 ligne 6  1   6   15  20  15  6   1 
 ligne 7 (Le terme ligne 7 est utilisé pour désigner un grand nombre de lignes de transports en...)  1   7   21  35  35  21  7   1 
 

Les coefficients {n \choose k}, k \in [\![0;n]\!] figurent à la ne ligne. Le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Cette méthode permet le calcul rapide des coefficients binomiaux sans division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) ni multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...).

Note : pour k \in [\![0;n]\!], le coefficient binomial est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) entier.


Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) aux nombres complexes

Pour tout nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent...) z et tout entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...) k, on définit le coefficient binomial {z \choose k} de la manière suivante :

{z \choose k} = \frac{z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!} \qquad (3)

Pour tout entier k, l'expression {z \choose k} est un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) en z de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) k à coefficients rationnels. Tout polynôme p(z) de degré d peut être écrit sous la forme

p(z) = \sum_{k=0}^{d} a_k {z \choose k}

Utilisation des coefficients binomiaux

Développement du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton...) de Newton

Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) ne de x + y :

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k y^{n-k} \qquad (4)

Par exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :

\ (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\, .

La formule du binôme généralisé (La formule du binôme généralisé permet de développer une puissance réelle ou complexe d'une...) permet d'étendre la formule précédente au cas où l'exposant (Exposant peut signifier:) n est négatif ou non entier, voire même complexe.

Combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...) et statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....)

Les coefficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de dénombrement :

  • Le nombre de parties à k éléments dans un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) à n éléments est égal à {n \choose k}. C'est également le nombre de listes de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) n, constituées de 1 et de 0, et ayant k = 1 et n-k = 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des k-combinaisons sans répétition.
  • Le nombre de suites de n entiers naturels dont la somme vaut k est égale à {n+k-1 \choose k}. C'est aussi le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble à n éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition).
  • En probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) et statistique, les coefficients de binôme apparaissent dans la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de la loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité...) .
  • Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) paramétrique d'une courbe de Bézier (Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première...).
  • d'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de k éléments parmi n différents on peut réaliser. exemple: les quatre as d'un jeu de carte sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...). si l'on suit la formule il y en a six.

Pour s'en persuader, voici la liste des mains :

  1. as de cœur et as de carreau
  2. as de cœur et as de trèfle (Les trèfles sont des plantes herbacées de la famille des Fabacées...)
  3. as de cœur et as de pique
  4. as de carreau et as de trèfle
  5. as de carreau et as de pique
  6. as de trèfle et as de pique

Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (" carreau - pique " est équivalent à " pique - carreau ").

Diviseurs et coefficients binomiaux

Les diviseurs premiers de {n \choose k} possèdent la propriété suivante : Si p\quad est un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) et p^r\quad est la plus grande puissance de p\quad qui divise {n \choose k}, alors r\quad est égal au nombre d'entiers naturels j\quad tels que la partie fractionnaire de \frac{k}{p^j}\, soit plus grande que la partie fractionnaire de \frac{n}{p^j}\,. C'est le nombre de retenues dans la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...) de n par k, lorsque ces deux nombres sont écrits en base p.

En particulier, {n \choose k} est toujours divisible par n/\mbox{pgcd}\,(n,k) (pgcd signifie plus grand commun diviseur).

Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux

Les formules suivantes peuvent être utiles :

{n \choose k} = {n \choose n-k}          \qquad (5)
{n \choose k} = \frac{n}{k}{n-1 \choose k-1}  \qquad(k>0) et plus généralement {z \choose k} = \frac{z}{k}{z-1 \choose k-1}\qquad (6)

Ces deux formules se montrent facilement à partir de la définition (1).

En remplaçant dans (4) x = y = 1, on obtient

\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n \qquad (7)

En dérivant (4), et en remplaçant x = y = 1, il vient

\sum_{k=1}^{n} k {n \choose k} = n 2^{n-1} \qquad (8)

En développant (x + y)^n.(x + y)^m = (x + y)^{m +n}\, avec (4), on obtient l'identité de Vandermonde :

\sum_{j=0}^{k} {m \choose j} {n \choose k-j} = {m+n \choose k} et plus généralement \sum_{j=0}^{k} {z \choose j} {z' \choose k-j} = {z+z' \choose k} \qquad (9)

À partir du développement (9), en remplaçant m = k = n et en utilisant (5), on obtient

\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2 = {2n \choose n} \qquad (10)

On a,

\sum_{k=0}^{n} {n-k \choose k} = \mathcal{F}(n+1) \qquad (11)

Ici, F(n+1) désigne le n+1 ième terme de la suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...). Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).

Et enfin,

\sum_{j=k}^{n} {j \choose k} = {n+1 \choose k+1} \qquad (12)

Cela peut être démontré par récurrence sur n en utilisant (2).

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