Coefficient binomial
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…

Définition

Coefficient binomial d'entiers

Le coefficient binomial (Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en...) des entiers naturels n et k, noté {n \choose k} ou C_n^k et vaut :

\frac{n (n -1)(n - 2)\cdots (n - k +1)}{k!} = \begin{cases}\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!} & \mbox{si } k \in [\![0;n]\!] \quad\mbox{(1)} \\\qquad 0 & \mbox{sinon}\end{cases}

Ici n ! désigne la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs...) de n. On remarque qu'il existe deux notations : le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel,...) binomial de n et k s'écrit

  • C_n^k\, ou C(n,k)\, et se lit " combinaison de k parmi n " ou aussi " cnk ",
  • ou bien {n \choose k} et se lit " k parmi n ".

Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux :

{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \qquad \mbox{(2)}

Elle donne lieu au triangle de Pascal (En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et à la colonne j (0 ≤ j ≤ i) est...) qui permet un calcul rapide des coefficients pour de petites valeurs de n :

 
 ligne 0  1 
 ligne 1  1   1 
 ligne 2  1   2   1 
 ligne 3  1   3   3   1 
 ligne 4  1   4   6   4   1 
 ligne 5  1   5   10  10  5   1 
 ligne 6  1   6   15  20  15  6   1 
 ligne 7 (Le terme ligne 7 est utilisé pour désigner un grand nombre de lignes de transports en commun :)  1   7   21  35  35  21  7   1 
 

Les coefficients {n \choose k}, k \in [\![0;n]\!] figurent à la ne ligne. Le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Cette méthode permet le calcul rapide des coefficients binomiaux sans division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...) ni multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .).

Note : pour k \in [\![0;n]\!], le coefficient binomial est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier.


Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les...) aux nombres complexes

Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel k, on définit le coefficient binomial {z \choose k} de la manière suivante :

{z \choose k} = \frac{z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!} \qquad (3)

Pour tout entier k, l'expression {z \choose k} est un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute...) en z de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) k à coefficients rationnels. Tout polynôme p(z) de degré d peut être écrit sous la forme

p(z) = \sum_{k=0}^{d} a_k {z \choose k}

Utilisation des coefficients binomiaux

Développement du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en binôme en sciences...) de Newton

Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) ne de x + y :

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k y^{n-k} \qquad (4)

Par exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :

\ (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\, .

La formule du binôme généralisé (La formule du binôme généralisé permet de développer une puissance réelle ou complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton.) permet d'étendre la formule précédente au cas où l'exposant (Exposant peut signifier:) n est négatif ou non entier, voire même complexe.

Combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.) et statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le...)

Les coefficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de dénombrement :

  • Le nombre de parties à k éléments dans un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) à n éléments est égal à {n \choose k}. C'est également le nombre de listes de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) n, constituées de 1 et de 0, et ayant k = 1 et n-k = 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des k-combinaisons sans répétition.
  • Le nombre de suites de n entiers naturels dont la somme vaut k est égale à {n+k-1 \choose k}. C'est aussi le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble à n éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition).
  • En probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques,...) et statistique, les coefficients de binôme apparaissent dans la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p correspond au modèle suivant :) .
  • Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) paramétrique d'une courbe de Bézier (Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première fois en 1962 par l'ingénieur français Pierre Bézier qui les utilisa pour concevoir des pièces d'automobiles à l'aide d'ordinateurs. Elles...).
  • d'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de k éléments parmi n différents on peut réaliser. exemple: les quatre as d'un jeu de carte sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à...). si l'on suit la formule il y en a six.

Pour s'en persuader, voici la liste des mains :

  1. as de cœur et as de carreau
  2. as de cœur et as de trèfle (Les trèfles sont des plantes herbacées de la famille des Fabacées (Légumineuses), appartenant au genre Trifolium.)
  3. as de cœur et as de pique
  4. as de carreau et as de trèfle
  5. as de carreau et as de pique
  6. as de trèfle et as de pique

Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (" carreau - pique " est équivalent à " pique - carreau ").

Diviseurs et coefficients binomiaux

Les diviseurs premiers de {n \choose k} possèdent la propriété suivante : Si p\quad est un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette...) et p^r\quad est la plus grande puissance de p\quad qui divise {n \choose k}, alors r\quad est égal au nombre d'entiers naturels j\quad tels que la partie fractionnaire de \frac{k}{p^j}\, soit plus grande que la partie fractionnaire de \frac{n}{p^j}\,. C'est le nombre de retenues dans la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour...) de n par k, lorsque ces deux nombres sont écrits en base p.

En particulier, {n \choose k} est toujours divisible par n/\mbox{pgcd}\,(n,k) (pgcd signifie plus grand commun diviseur).

Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux

Les formules suivantes peuvent être utiles :

{n \choose k} = {n \choose n-k}          \qquad (5)
{n \choose k} = \frac{n}{k}{n-1 \choose k-1}  \qquad(k>0) et plus généralement {z \choose k} = \frac{z}{k}{z-1 \choose k-1}\qquad (6)

Ces deux formules se montrent facilement à partir de la définition (1).

En remplaçant dans (4) x = y = 1, on obtient

\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n \qquad (7)

En dérivant (4), et en remplaçant x = y = 1, il vient

\sum_{k=1}^{n} k {n \choose k} = n 2^{n-1} \qquad (8)

En développant (x + y)^n.(x + y)^m = (x + y)^{m +n}\, avec (4), on obtient l'identité de Vandermonde :

\sum_{j=0}^{k} {m \choose j} {n \choose k-j} = {m+n \choose k} et plus généralement \sum_{j=0}^{k} {z \choose j} {z' \choose k-j} = {z+z' \choose k} \qquad (9)

À partir du développement (9), en remplaçant m = k = n et en utilisant (5), on obtient

\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2 = {2n \choose n} \qquad (10)

On a,

\sum_{k=0}^{n} {n-k \choose k} = \mathcal{F}(n+1) \qquad (11)

Ici, F(n+1) désigne le n+1 ième terme de la suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de...). Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).

Et enfin,

\sum_{j=k}^{n} {j \choose k} = {n+1 \choose k+1} \qquad (12)

Cela peut être démontré par récurrence sur n en utilisant (2).

Page générée en 0.128 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique