Axiome du choix
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L'axiome du choix, abrégé en " AC ", est un axiome de la théorie axiomatique des ensembles.

Énoncé

Dans sa forme première, l'axiome du choix s'énonce littéralement comme suit :

" Étant donnée une famille non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) d'ensembles non vides, il existe une fonction, appelée fonction de choix qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. "

Cet axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) se traduit par le prédicat :

(\forall X)\; \left[X\neq \emptyset\wedge (\emptyset \notin X)\right]\Longrightarrow\left[ \exists f:X\rightarrow \bigcup_{Y\in X} Y,\; \forall x\in X, \; f(x)\in x \right]\;.

Autres formulations

Il existe d'autres énoncés équivalents à l'axiome du choix, dont les suivants :

  • " Le produit d'une famille non vide d'ensembles non vides est non vide " :
(\forall X)\; \left[X\neq \emptyset \wedge (\emptyset \notin X)\right]\Longrightarrow \prod_{y\in X}y\neq \emptyset\; ;
  • " Toute surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que...) sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) non vide est inversible à droite " ;
  • Pour toute relation d'équivalence R sur un ensemble non vide X, il existe un choix de représentants de R, autrement dit un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément...) Y de X tel que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément de X est R-équivalent à un unique élément de Y.
  • Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Zermelo : " Tout ensemble non vide est bien ordonnable (c'est-à-dire peut être muni d'une structure de bon ordre) " ;
  • Lemme de Zorn : " Tout ensemble inductif non vide admet un élément maximal " ;


Particularités

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.). En effet, l'existence d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) des fonctions continues ne permet en aucune façon de dire comment décrire une telle base. De ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou...) des ensembles ZF. On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

Anecdote

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins...) de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

  • Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général (algorithme) qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
  • Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un mode de locomotion naturel. Il consiste en un déplacement en appui alternatif sur...) tout le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite. On dispose ainsi d'un algorithme simple.

Il semble cependant qu'il faille tempérer le pessimisme de Russell[1].

Exemples où l'axiome du choix est nécessaire

  • L'ensemble externe * R des hyperréels doit son existence à l'axiome de choix.
  • Un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) de Dedekind est un ensemble fini.

Formes faibles de l'axiome du choix

Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...) utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou " constructiviste ", et qui servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à " construire " des suites. Ils sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.

Axiome du choix dénombrable

Cet axiome, abrégé en " AD ", est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables :

" Etant donnée une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. "

Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(xn) tend vers f(0) pour toute suite (xn) tendant vers 0. Il permet aussi de démontrer qu'un produit dénombrable d'espaces compacts est compact, ou encore le théorème de Hahn-Banach pour un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique....) séparable. Il permet également de démontrer le théorème des complets emboîtés (dont l'une des conséquences est le théorème de Baire).

Attention à une confusion courante: c'est la famille d'ensembles qui est dénombrable, aucune hypothèse n'étant faite sur les ensembles composant cette famille. L'axiome du choix dénombrable ne concerne pas la question du choix d'un élément dans un ensemble dénombrable (Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels , c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur  ; cela équivaut à l'existence d'une bijection de sur E.) mais la possibilité de faire une infinité dénombrable de choix simultanément.

Axiome du choix dépendant

Cet axiome, abrégé en " DC ", assure que, si R est une relation sur un ensemble non vide E vérifiant

\forall x \in E\ \exists y \in E\ xRy,

il existe une suite (xn) d'éléments de E telle que

\forall n\ x_nRx_{n+1}.

L'axiome DC implique l'axiome AD, sans que cela soit évident. Il est par exemple utilisé dans axiome de fondation (L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles. Introduit en 1925 par John von Neumann, il joue un grand rôle dans cette théorie, alors...) et plus généralement relation bien fondée (Soit E un ensemble non vide. On dit qu'une relation R sur E est bien fondée ou plus rarement nœthérienne (alors que l'on devrait dire en toute rigueur artinienne ce qui se dit plus rarement encore) si et seulement si...) pour établir l'équivalence de deux définitions.

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