Hypothèse de Riemann généralisée
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L'hypothèse de Riemann est l'une des plus importantes conjectures des mathématiques et concerne les zéros de la fonction ζ de Riemann. Divers objets géométriques et arithmétiques peuvent être décrits par ce que l'on appelle les fonctions L globales, qui sont similaires formellement à la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann. On peut alors se poser la même question à propos des zéros de ces fonctions L, fournissant diverses généralisations de l'hypothèse de Riemann (L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa...). Aucune de ces conjectures n'a été confirmée ou infirmée par une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales,...), mais beaucoup de mathématiciens croient qu'elles sont vraies.

Les fonctions L globales peuvent être associées aux courbes elliptiques, aux corps de nombres (dans ce cas, elles sont appelées fonction Zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de BeOS.) de Dedekind), ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie...) de Maass, et caractères de Dirichlet (dans ce cas, elles sont appelées fonctions L de Dirichlet). Lorsque l'hypothèse de Riemann est formulée pour les fonctions Zeta de Dedekind, elle est connue sous le nom d'hypothèse de Riemann étendue et lorsqu'elle est formulée pour les fonctions L de Dirichlet, elle est connue sous le nom d'hypothèse généralisée de Riemann. Ces deux énoncés seront discutés de façon plus détaillée ci-dessous.

Hypothèse de Riemann généralisée (L'hypothèse de Riemann est l'une des plus importantes conjectures des mathématiques et concerne les zéros de la fonction ζ de Riemann. Divers objets géométriques et arithmétiques peuvent être décrits par ce que l'on appelle les...) (HRG)

L'hypothèse de Riemann généralisée a sans doute été formulée pour la première fois par Plitz en 1884. De même que l'hypothèse de Riemann originelle, elle a d'importantes conséquences sur la répartition des nombres premiers.

Son énoncé formel est le suivant :

Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie...) complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de...) multiplicative χ pour laquelle il existe un entier strictement positif k tel que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier n, on ait \chi(n + k) = \chi(n)\, et \chi(n) = 0\, si k n'est pas premier avec n.

Si on se donne un tel caractère, on définit la fonction L de Dirichlet correspondante par la relation suivante :

L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}

pour tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe s de partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut-être étendue à une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.).

D'après l'hypothèse de Riemann généralisée, pour tout caractère de Dirichlet χ et tout nombre complexe s avec L(\chi,s) = 0\,, si la partie réelle de s est comprise entre 0 et 1, alors elle vaut en fait 1/2.

Le cas χ(n) = 1 pour tout n correspond à l'hypothèse de Riemann ordinaire.

Conséquences de l'hypothèse de Riemann généralisée

Un progression arithmétique d'entiers naturels est une suite d'entiers de la forme a, a+d, a+2d, a+3d... où a et d sont des entiers, d étant non nul. D'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Dirichlet, si a et d sont premiers entre eux, alors une telle progression arithmétique contient une infinité de nombres premiers.

Notons π(x,a,d) le nombre de nombres premiers appartenant à cette progression et inférieurs ou égaux à x ; si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie, alors pour tous entiers premiers entre eux a et d et pour tout réel ε > 0 :

\pi(x,a,d) = \frac{1}{\varphi(d)} \int_2^x \frac{1}{\ln x}\,dx + O(x^{1/2+\epsilon})\quad\mbox{ lorsque } \ x\to\infty

\varphi(d) désigne la fonction φ d'Euler, et O le symbole de Landau. C'est une version beaucoup plus forte du théorème des nombres premiers.

Si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie, alors pour tout nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette...) p, il existe une racine primitive modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction qui au couple (a,...) p (un générateur du groupe multiplicatif des entiers modulo p) qui est inférieur à 70 (ln(p))2 ; ce résultat est souvent utilisé dans les démonstrations.

La conjecture faible de Goldbach (Dans la théorie des nombres, la conjecture faible de Goldbach, aussi connue comme la conjecture impaire de Goldbach ou le problème des trois nombres premiers, affirme que :) découle aussi de l'hypothèse de Riemann généralisée.

Si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie, alors le test de primalité de Miller-Rabin est assuré d'être exécuté en temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) polynomial. Un test de primalité en temps polynomial qui ne requiert pas l'hypothèse de Riemann généralisée a été récemment publié :

Hypothèse de Riemann étendue (HRE)

Supposons \mathbb{K}, un corps de nombres (de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) finie extension de corps des rationnels \mathbb{Q}) avec un anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux de cette planète.)'entiers OK (cet anneau est la clôture (Une clôture désigne tout obstacle naturel ou fait de la main de l'homme (barrière) et suivant tout ou partie du pourtour d'un terrain afin de matérialiser ses limites ou...) intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur...) des entiers \mathbb{Z} dans \mathbb{K}). Si a est un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde...) de OK, autre que l'idéal zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des...), nous désignons sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent...) par Na. La fonction Zeta de Dedekind de K est alors définie par

\zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s}

pour chaque nombre complexe s avec une partie réelle > 1. La somme s'étend sur tous les idéaux différents de l'idéal zéro a de OK.

La fonction Zeta de Dedekind satisfait une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en...) et peut être étendue par prolongement analytique sur le plan complexe entier. La fonction résultante contient une information importante à propos du corps de nombres K. L'hypothèse de Riemann étendue affirme que pour chaque corps de nombres K et pour chaque nombre complexe s avec ζK(s) = 0: si la partie réelle de s est comprise entre 0 et 1, alors elle est en fait 1/2.

L'hypothèse ordinaire de Riemann découle de l'hypothèse étendue, si le corps de nombres est \mathbb{Q}, avec l'anneau des entiers \mathbb{Z}.

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