Tenseur de Ricci - Définition et Explications

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Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...)

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Tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété...)
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Dans le cadre de la théorie de la Relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de...) générale, le champ de gravitation (La gravitation est le phénomène d'interaction physique qui cause l'attraction...) est interprété comme une déformation de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...). Cette déformation est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci, dont le nom a été attribué d'après son inventeur, Gregorio Ricci-Curbastro.

Le tenseur de Ricci est un tenseur d'ordre 2, obtenu comme la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) du tenseur de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure...) complet. On peut le considérer comme le Laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes.

Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) d'Einstein, équation principale de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...). C'est aussi un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) fondamental en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul...), le domaine de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) qui essaye de décrire les propriétés géométriques des objets de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) n.

Construction mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...)

Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann R, qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la Relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.

Il peut s'exprimer notamment à partir des coefficients de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point (Graphie) à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.

D'un point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein[1].

Les coefficients de Christoffel s'expriment par :

{\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta} =     \frac{1}{2} g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta} +    \partial_{\beta}g_{\alpha\delta} -    \partial_{\delta}g_{\alpha\beta})

Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en...), c'est-à-dire le chemin le plus court entre deux points de l'espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) - qui n'est pas toujours une ligne droite :

\frac{d^2x^\alpha}{ds^2}+{\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \frac{dx^\beta}{ds}\frac{dx^\gamma}{ds}=0

Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel :

{R^\delta}_{\alpha\beta\gamma} =  \partial_{\alpha} {\Gamma^\delta}_{\beta\gamma} -   \partial_{\beta}  {\Gamma^\delta}_{\alpha\gamma} +  {\Gamma^\delta}_{\alpha\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\beta\gamma} -  {\Gamma^\delta}_{\beta\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\gamma}

Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction :

R_{\alpha\beta}={R^\gamma}_{\alpha\beta\gamma}

Par la suite, la courbure scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction :

R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}^{}

La divergence du tenseur d'Einstein R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R est nulle :

\left[R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R\right]_{\alpha\beta} = 0

Cette équation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les...) le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

Notes et références

  1. Cette convention stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles...) que les indices répétés seront des indices de sommation : x_{\mu}x^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}x_{\mu}x^{\mu}
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