Pierre de Fermat
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Pierre de Fermat
Pierre de Fermat

Pierre de Fermat, né le 20 août 1601, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et décédé le 12 janvier 1665 à Castres, était un juriste et mathématicien français, surnommé " le prince des amateurs ".

Biographie

Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé, bourgeois et second consul de la ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour l'ONU) étendue et fortement peuplée (dont les habitations doivent être à moins...) comme marchand de cuir et autres denrées. Il a été éduqué à la maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille, voire de plusieurs, sans être considérée comme...) par sa mère, Claire Delong, professeur de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...). Par la suite, il fait des études de droit à Toulouse, Bordeaux et Orléans. Dès 1631, il achète une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être transporté.) de conseiller du roi à la Chambre des Requêtes du Parlement de Toulouse. Avec fidélité et assurance dans cet emploi de magistrat, il remplit sa tâche et grimpe rapidement les échelons vers un emploi de notable à la Chambre Criminelle et la Grand’ Chambre et enfin, membre de la chambre de l'édit de Castres (1648). C'est à ce dernier poste qu'une particule de noblesse s'ajoute à son nom et il se nomme dorénavant Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né le 20 août 1601, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et décédé le 12 janvier 1665 à Castres, était un juriste et mathématicien français, surnommé...).

Ses talents de mathématiciens se sont exercés à part de son travail de magistrat puisque les seuls grands écrits que l'on ait retrouvés de lui sont des annotations dans des textes renommés tels l'Arithmetica de Diophante.

À ses amis mathématiciens (Descartes, Pascal, Roberval, Torricelli, Huygens, Mersenne), il demande de démontrer par la preuve les théories qu'il avance ce qui ravive l'ire des autres envers lui. En 1652, la fameuse peste (La peste (du latin pestis, maladie contagieuse) est une maladie à multiples facettes qui est mortelle pour l'Homme. Elle est causée par le bacille Yersinia pestis, découvert par...) qui ravage la France s'attaquera à lui mais il y fera face et la combattra. Ce n'est qu'en 1670 que son théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...) est exposé au public et l'on devra attendre jusqu'au 19 septembre 1994 pour qu'il soit prouvé par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) anglais Andrew Wiles.

Il s'est aussi intéressé aux sciences physiques ; on lui doit notamment le Principe de Fermat en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.).

Contributions

Il partage avec Descartes la gloire (La Gloire fut le premier cuirassé de haute mer de l'histoire. Elle fut lancée en 1859 pour la marine nationale française, juste après la guerre de Crimée, où les canons Paixhans et rayés avaient fait preuve...) d'avoir appliqué l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) à la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...). Il imagina pour la solution des problèmes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) dont il est un précurseur : il est le premier à utiliser la formule (sinon le concept) du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) dérivé.

Il pose en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) que Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe, moraliste et théologien français.) les bases du calcul des probabilités. Mais sa contribution majeure concerne la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cœur de la " théorie moderne des nombres ".

Il est très connu pour deux " théorèmes " :

  • le " petit théorème de Fermat " ;
  • le " dernier théorème de Fermat " ; ce dernier n'était qu'une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) et l'est resté durant près de quatre siècles de recherches fiévreuses.

Petit théorème de Fermat

Si p est un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif....) et a un entier naturel non divisible par p, alors a^{p-1} \equiv 1\pmod{p} .

Voir aussi : Théorème d'Euler, Dont ce théorème est un cas particulier.

Théorème des deux carrés de Fermat

Pour qu'un nombre premier impair soit la somme de deux carrés, il faut et il suffit qu'il soit congru à 1 modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique,...) 4.

Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier s'écrit :

  • comme somme d'au plus 3 nombres triangulaires
  • comme somme d'au plus 4 nombres carrés
  • comme somme d'au plus 5 nombres pentagonaux
  • etc.
    • nombres triangulaires : 1;3(=1+2);6(=1+2+3);10(=1+2+3+4)...\! : le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls ;
    • nombres carrés : 1;4(=1+3);9(=1+3+5);16(=1+3+5+7)... \,\! : le n-ième nombre carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
    • nombres pentagonaux : 1;5(=1+4);12(=1+4+7);22(=1+4+7+10)... \,\! : le n-ième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3 ;
    • nombres polygonaux d'ordre m  : 1 ; 1+(m-1) ; 1+(m-1)+(2m-3) ; 1+(m-1)+(2m-3)+(3m-5) ; ...  \,\! : le n-ième nombre polygonal d'ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo m-2.

Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange (Joseph Louis, comte de Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia en italien) (25 janvier 1736, Turin - 10 avril 1813, Paris) est un mathématicien et astronome italien.) au XVIIIe siècle (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par Euler). Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en 1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en 1813.

Grand théorème de Fermat (ou Dernier théorème de Fermat)

Il n'existe pas d'entiers strictement positifs x\,\!, y\,\!, z\,\! vérifiant l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes...) x^n + y^n = z^n\,\! lorsque n est un entier tel que n > 2\,\!.

Ce théorème fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l'Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission...) de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics.

Pierre de Fermat lui-même annotait en marge de son exemplaire des Arithmétiques qu’il en avait découvert une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur...) vraiment remarquable, mais manquait de place pour la donner à cet endroit:"j'ai découvert une preuve réellement remarquable que cette marge trop étroite ne me permet pas de détailler".

La démonstration évoquée par Pierre de Fermat est soit fausse, soit inconnue à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure locale) et sa...), car la démonstration réalisée par Andrew Wiles utilise des outils mathématiques dont M. de Fermat ne pouvait vraisemblablement disposer compte tenu des connaissances de son époque.

Méthode de la descente infinie

Fermat est par ailleurs l'inventeur d'une méthode de démonstration, la descente infinie. Elle consiste à démontrer que si une proposition P est vraie à un rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie...) r, elle l'est à un rang q inférieur à r. Si on aboutit à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.), on démontre alors que P est fausse. Cette méthode très astucieuse a été utilisée par Fermat pour démontrer son grand théorème dans le cas particulier n = 4.

Principe de Fermat (optique)

Le trajet parcouru par la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement...) entre deux points est toujours celui qui minimise le temps de parcours. Voir l'article principe de Fermat

Œuvres

Il commenta, en l'étendant, Diophante, et rétablit avec une admirable sagacité plusieurs ouvrages perdus d'Apollonius et d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce...). Il était en même temps un habile helléniste et un profond jurisconsulte. Ce savant cachait ses méthodes, dont quelques-unes ont été perdues avec lui.

On a de lui quelques opuscules, publiés 15 ans après sa mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus général, incluant par...) par son fils, Samuel de Fermat, sous le titre de Varia opera mathematica, Toulouse, 1679, et des Remarques sur Diophante, dans l'édition de cet auteur donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) en 1670.

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