Pendule sphérique
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Présentation

On appelle pendule sphérique un dispositif formé d'une tige de masse nulle de longueur l\, accrochée à un point fixe C\, et à laquelle est fixée à l'autre extrémité M\, une masse m\,, habilité à se mouvoir en 3 dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.), et placé dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un...) uniforme. En bref, c'est un pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans...) en 3D.

Mais le problème peut aussi être considéré comme un cas particulier de mouvement d'un point (Graphie) matériel astreint à glisser sans frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) sur une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...), en l'occurrence la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés...) de centre C\, et de rayon l\,.

Petites oscillations : pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault qui est le plus...) de Hooke

La relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) s'écrit : m {d^2 \vec{M} \over dt^2}= - mg \vec{k} - {T \over l}\overrightarrow{CM} = (T-mg)\vec{k}-{T \over l}\overrightarrow{OM}

On peut considérer pour de petites oscillations que le point M\, reste dans le plan xOy\, et que donc T=mg\,, ce qui donne l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) approchée des petites oscillations : {d^2 \vec{M} \over dt^2}= -{g \over l}\overrightarrow{OM}= -{ \omega _0^2}\overrightarrow{OM}

Le mouvement est donc celui d'un point matériel dans un champ central où la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) est proportionnelle à la distance au centre (champ dit harmonique). L'équation différentielle approchée s'intègre en :

 
 x= a \cos(\omega_0 t+\phi)\,  ;  y = b \sin(\omega_0t +\psi)\, 
 

Les trajectoires sont donc les ellipses de centre O\, , dites ellipses de Hooke. La période du mouvement est une constante égale à T_0={2\pi\over \omega_0}, la même que celle des petites oscillations du pendule simple plan.

Remarquons que ce cas représente celui d'un pendule dont la tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie généralement en...) pourrait s'allonger de sorte à ce que M\, reste dans un plan perpendicualire à l'axe (ceci alors pour des oscillations quelconques).

Augmentation des oscillations

Si l'on augmente l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) du mouvement de Hooke, on voit l'ellipse de Hooke (L'ellipse de Hooke est la trajectoire d'un mobile élastiquement lié à un point fixe.) précesser comme sur la figure ci-contre.

Ce mouvement de précession (La précession est le nom donné au changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet ou, de façon plus générale, d'un vecteur sous l'action de...) est largement plus grand, si l'on n'y prend garde, que la précession de Foucault due au pivotement terrestre sidéral. Cela est très souvent la raison pour laquelle l'expérience de Foucault échoue.

Mise en équation utilisant l'approche newtonnienne

D'après la relation (1), le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) {d^2 \vec{M} \over dt^2} - g \vec{k} est colinéaire à \overrightarrow{CM}, ce qui s'écrit
(3) \left({d^2 \vec{M} \over dt^2} - g \vec{k}\right)\wedge \overrightarrow{CM}=\vec 0

En écrivant que M\, a pour coordonnées (sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,l(1-\cos\theta))\,, on obtient les équations du mouvement :

(4) \ddot\theta = -\sin\theta(\omega_0^2-\dot\varphi^2 \cos\theta)

(5) \ddot\varphi=-2\cot\theta\dot\varphi\dot\theta

On retrouve bien l'équation du pendule plan \ddot\theta = -\omega_0^2\sin\theta si l'on fait \dot\varphi=0.

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne

Pour des variations infinitésimales d\theta\, et d\varphi\,, on a deux écarts perpendiculaires l d\theta\, et l \sin \theta d\varphi\,. Les deux composantes perpendiculaires de la vitesse (On distingue :) sont donc l \dot\theta et l \dot\varphi \sin \theta et l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au...) vaut E_c = \frac{m l^2}{2}\left({\dot\theta}^2 + {\dot\varphi}^2\sin^2 \theta\right). L'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle valant E_p = \mathrm{Cte} - m g l\cos\theta\,, la fonction de Lagrange s'écrit :

L = E_c - E_p = \frac{m l^2}{2}\left({\dot\theta}^2 + {\dot\varphi}^2 \sin^2 \theta\right) + m g l\cos\theta - \mathrm{Cte}

Le lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces...), a priori fonction de \left(\theta, \varphi, \dot\theta, \dot\varphi, t\right) ne dépend ici explicitement ni de \varphi\, ni de t\,. On a \frac{\partial L}{\partial \theta} = {m l^2} {\dot\varphi}^2 \sin\theta \cos\theta - m g l\sin\theta,

\frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = {m l^2} \dot\theta et \frac{\partial L}{\partial \dot\varphi} = m l^2 \dot\varphi \sin^2 \theta, ce qui conduit aux deux équations de Lagrange : \ddot\theta -  {\dot\varphi}^2 \sin\theta \cos\theta +  g / l\sin\theta = 0 et \ddot\varphi\sin^2 \theta  +  2 \dot\theta \dot\varphi \sin\theta \cos\theta= 0.

On retrouve bien les équations (4) et (5).

Cas du pendule conique (La figure ci-contre représente un dispositif appelé "pendule conique". Il s'agit d'un pendule simple mais dont on attache l'extrémité du fil à un axe de rotation vertical (tige rigide...)

Une trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) possible est celle d'un parallèle : on parle alors de pendule conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes...), dont la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation...) a été faite par Huygens. En écrivant dans l'équation (4) que l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) \theta\,, appelé angle de nutation (La nutation est un balancement périodique de l'axe de rotation de la Terre autour de sa position moyenne en plus de la précession, découvert en 1748 par...), est constant, on obtient la vitesse de rotation autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent...) de l'axe, appelée vitesse de précession : \dot{\varphi}={\omega_0 \over \sqrt{\cos\theta}}, qui est donc constante. On constate que \theta\, ne peut dépasser 90° ; la période du mouvement est T=T_0\sqrt{\cos\theta}.

Au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales...) de ce mouvement, il existe des mouvements avec une petite nutation.

Cas général

Il est intégrable à une quadrature près, puisque la surface a pour axe de révolution la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.).

L'équation (5) s'intègre en (6) \dot\varphi\sin^2\theta=cte=4\omega ; la vitesse de rotation autour de l'axe est donc minimale à l'équateur et augmente en se rapprochant des pôles.

L'équation (4) s'intègre alors en (7) \dot{\theta^2} - 2 \omega_0^2  cos\theta  + {16\omega^2 \over \sin^2\theta}=cte = (2k\omega_0)^2 ; \omega=0\, redonnant bien le cas du pendule plan.

En posant u=\sin{\theta \over 2}, (7) devient :

(8) {\dot u}^2=\omega_0^2(k^2-u^2)(1-u^2)+{\omega^2\over u^2}

.

Voir des vues de différentes trajectoires sur le site : courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) du pendule sphérique (On appelle pendule sphérique un dispositif formé d'une tige de masse nulle de longueur accrochée à un point fixe et à laquelle est fixée à l'autre...).

Généralisations

  • Dans le cas précedent, on a implicitement supposé que le référentiel était galiléen ; dans le cas général, il faut rajouter la force d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur une droite à vitesse constante)...) d'entraînement, et la force d'inertie complémentaire, ou force de Coriolis ; le cas du pendule de Foucault (Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen ainsi que l'existence de la force de Coriolis dans...) est celui des petites oscillations d'un tel pendule, avec une rotation d'axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.), et une force d'inertie d'entraînement négligeable..
  • Si le pendule possède une inertie de rotation, et est en rotation sur lui-même, on obtient la toupie ( Une toupie est un jouet destiné à tourner sur lui-même le plus longtemps possible, en équilibre sur sa pointe. On appelle également toupie le réservoir de camions spécialisés dans le transport de...), ou le gyroscope (Un gyroscope (du grec « qui regarde la rotation ») est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment angulaire en physique (ou encore stabilité gyroscopique...).
  • Comme pour le pendule plan, on peut considérer un pendule double (Exercice classique de mécanique, il s'agit d'un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. On a donc deux tiges de longueur et , de masse nulle et deux masses et .), voire multiple.

Source

Paul Appell : traité de mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) rationnelle, page 530 à 541

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