Ellipse de Hooke
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L'ellipse de Hooke est la trajectoire d'un mobile élastiquement lié à un point fixe.

Historique

Robert Hooke (1635-1703) énonça sa " loi de Hooke " sur les ressorts en 1670 :

F = -k·Δl

F étant la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) exercée par le ressort, Δl son allongement et k la constante de raideur. Il comprit que dans le cas du pendule sphérique (On appelle pendule sphérique un dispositif formé d'une tige de masse nulle de longueur accrochée à un point fixe et à laquelle est fixée à l'autre extrémité une masse , habilité à se mouvoir en 3 dimensions, et placé...) (une petite masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse...) pesante attachée par une ficelle de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) l fixée en un point (Graphie) O), si l'on considérait seulement les petites oscillations, la force de rappel vers la position d'équilibre stable (la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) descendante), composée du poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est...) et de la tension (La tension est une force d'extension.) du fil, s'écrivait

\vec{F}(M) = - k \cdot \overrightarrow{OM},

avec k = m·(g/l), g étant l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui indique...) de la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.).

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un...)[1] de Torricelli se muait dans ce cas en :

\frac{1}{2} m \left ( v_x^2 + v_y^2 \right ) + \frac{1}{2} k \cdot \left ( x^2 + y^2 \right ) = E_0

(l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) 1/2·m·v² varie à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) de l'énergie potentielle élastique (L'énergie potentielle élastique, notée Epe, dépend de x (allongement ou racourcissement du ressort) et de la constante de raideur k de ressort.) 1/2·k·OM²), où

  • x et y sont les coordonnées cartésiennes du mobile M par rapport au point d'attache O ;
  • vx et vy sont les composante du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication...) vitesse (On distingue :).

Cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) différentielle de Newton, comme nous disons de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit...), avait déjà été résolue le cas à une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) (mouvement linéaire) par Huygens dans son Horologium ; Huygens avait trouvé intuitivement la solution :

x(t)= A \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi)

trouvant ainsi la formule du pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un...) de Galilée :

T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}.

Robert Hooke a simplement étendu cette solution au cas à deux dimensions (mouvement plan) : il remarqua qu'en prenant x(t) et y(t) sinusoïdales de même pulsation, le mouvement était une ellipse (dite de Lissajous en France). Ses connaissances en " calculus " étaient quasi-inexistantes ( ? ).

Newton, lui, écrivit (presque comme cela) :

x'' + \omega_0^2 \cdot x =0
— et —
y'' + \omega_0^2 \cdot y =0

donc

\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM_0} \cdot \cos (\omega_0 t) + \frac{\vec{V_0}}{\omega_0} \cdot \sin (\omega_0 t)
— et —
hodographe \vec{V}(t) invariant par la translation temporelle tt + T/4

ce qui est la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'une ellipse par ses diamètres conjugués, bien connue en géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.) (voir cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) en perspective axonométrique) : la construction se fait aisément à la règle et au compas. (épure promise dès que je sais dessiner).

Les théorèmes d'Apollonius y retrouvent une interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) simple (énergie E0, moment cinétique L0). De plus, il existe un invariant tensoriel supplémentaire, auquel correspond en mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique...) une dégénérescence des niveaux d'énergie (cf. symétrie).

Dans le cas d'une boule homogène, le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de gravité interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme...) est

- k \cdot \overrightarrow{OM}

avec

k = m·g/R

de sorte que la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) interne d'une petite masse serait une ellipse de Hooke (L'ellipse de Hooke est la trajectoire d'un mobile élastiquement lié à un point fixe.) de période

T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{R}{g}},

qui est donc indépendante du rayon de la boule, mais seulement de sa masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du matériau appelée masse...), résultat qui n'étonne pas celui qui connaît le théorème de Newton-Gauss sur les coques creuses :

la masse au-delà de l'apogée (Un apogée (du grec apogeios : loin de la terre ; apo : loin + gê : Terre), dans les domaines de l'astronomie et de l'astronautique, est le point extrême de l'orbite...) de la trajectoire est sans action de gravité.

Hooke avait-il intuité ce théorème avant Newton ? La destruction en 1703 des archives de Hooke par Newton à la Royal Society est bien du caractère de Newton, mais laisse peu de chance pour pouvoir conclure.

Le modèle de Thomson dit de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de...) lié élastiquement

En physique atomique, on utilise par commodité le modèle de Thomson : un électron se déplacerait dans une boule uniforme de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice...) opposée de rayon environ 0,1nm. Évidemment, on peut dire aussi que c'est l'enveloppe sphérique de l'électron " délocalisé " qui se déplace en bloc par rapport au noyau quasi-ponctuel (on fait de toute façon intervenir la masse réduite). Ce modèle a le bon goût (Pour la faculté de juger les belles choses, voir Goût (esthétique)) de s'adapter à moult explications en physique atomique, et est donc très utilisé dans l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un élève par le biais de...).

C'est donc la transposition exacte en électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité désigne également la branche de...) d'un écrit de Hooke de 1679.

Notes

  1. le terme " énergie cinétique " est anachronique, il apparaît, avec le mot " travail ", seulement sous la plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de β-kératine. La plume est un élément...) de Coriolis vers 1830, dans son souci d'homogénéïté des formules : le vocable " forces vives " de Leibniz l'agaçait
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