Couche limite - Définition et Explications

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Introduction

Couches limites laminaires et turbulentes d'un écoulement sur une plaque plane (avec profil des vitesses moyennes)

La couche limite est la zone d'interface entre un corps et le fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) environnant lors d'un mouvement relatif entre les deux, conséquence de sa viscosité. Elle est un élément important en mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...), (aérodynamique, hydrodynamique), en météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques...), en océanographie (L’océanographie (de « océan » et du grec γρ?φειν...), etc.

Description

Profil de vitesses dans une couche limite (La couche limite est la zone d'interface entre un corps et le fluide environnant lors d'un...).

Lorsqu'un fluide réel s'écoule le long d'une paroi supposée fixe, les vitesses sur la paroi sont nulles et à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...), loin de l'obstacle, elles sont égales à la vitesse (On distingue :) de l'écoulement non perturbé. Sur une normale à la paroi la vitesse doit donc dans tous les cas varier entre 0 et un maximum. La loi de variation dépend de la viscosité du fluide qui induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de...) un frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre...) entre les couches voisines : la couche la plus lente (La Lente est une rivière de la Toscane.) tend à freiner la couche la plus rapide qui, en retour, tend à l'accélérer.

Dans ces conditions, une forte viscosité égalise au maximum les vitesses. Au contraire, si le fluide est peu visqueux, les différentes couches sont beaucoup plus indépendantes : la vitesse à l'infini se maintient jusqu'à une courte distance de l'obstacle et il y a une variation plus forte des vitesses dans la petite épaisseur de la couche limite.

Dans le premier cas, il faut utiliser les équations générales du fluide visqueux. Dans le second, on peut utiliser dans la couche limite des équations simplifiées complétées par des résultats expérimentaux. Les équations, également plus simples, du fluide parfait (En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son...) appliquées au-delà de la paroi « engraissée » par la couche limite fournissent les conditions aux limites pour le calcul.

En fait, ce n'est pas la viscosité elle-même qui intervient. Comme toujours en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) des fluides, c'est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) sans dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) qui caractérise le phénomène : le nombre de Reynolds. Celui-ci décrit le rapport des forces liées à la vitesse aux forces de frottement. Ainsi, au lieu d'augmenter la viscosité, on peut obtenir un phénomène semblable en diminuant la vitesse ou les dimensions de l'obstacle.

Équations de la couche limite

La compréhension et la modélisation des équations de la couche limite sont peut être une des plus importantes avancées de la dynamique des fluides (La dynamique des fluides est l'étude des mouvements des fluides, qu'ils soient liquide ou gaz....). En utilisant Analyse d'échelle, les Équations de Navier-Stokes (En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées...) peuvent être écrites sous forme simplifiée. En effet, les Équations de Navier-Stokes originales sont elliptiques alors que les équations simplifiées sont paraboliques. Cela simplifie grandement la résolution des équations. La simplification repose sur la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) en deux de l'espace dans lequel s'écoule le fluide : la couche limite et le reste de l'espace (le reste étant facile à résoudre par de nombreuses méthodes). La couche limite est alors gouvernée par des équations différentielles partielles faciles à résoudre. Les Équations de Navier-Stokes et de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) pour un écoulement bidimensionnel incompressible en coordonnées cartésiennes sont :

 {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0
 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}\left({\partial^2 u\over \partial x^2}+{\partial^2 u\over \partial y^2}\right)
 u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial y}+{\nu}\left({\partial^2 v\over \partial x^2}+{\partial^2 v\over \partial y^2}\right)

où u et v sont les composantes de la vitesse, ρ est la masse volumique (La masse volumique est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par...), p la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...), et ν est Viscosité cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le...) du fluide en un point (Graphie).

Un écoulement qui a un nombre de Reynolds élevé peut être simplifié. La simplification consiste à diviser l'espace en deux régions. La première est la région où l'écoulement du fluide n'est pas affecté par la viscosité (la majorité de l'espace), l'autre région - proche des surfaces du domaine - est la région ou la viscosité joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle important (couche limite). Alors u et v sont respectivement la vitesse sur la ligne de courant et la vitesse normale à la ligne de courant à l'intérieur de la couche limite. En utilisant l'analyse d'échelle, les équations de mouvement pour la couche limite se simplifient et deviennent :

 {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0
 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

et si le fluide est incompressible (cas d'un liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est...) dans les conditions standards) :

 {1\over \rho} {\partial p \over \partial y}=0

Une analyse asymptotique montre que v, la vitesse normale est petite comparée à u la vitesse sur une ligne de courant, et que les propriétés de ses variations dans la direction de la ligne de courant sont généralement moins importantes que dans la direction normale.

La pression statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut...) p est indépendante de y, alors la pression au bord de la couche limite est la pression de la ligne de courant. La pression externe peut être calculée en appliquant le Théorème de Bernoulli (Le théorème de Bernoulli qui a été établi en 1738 par Daniel Bernoulli...). Alors u0 est la vitesse du fluide en dehors de la couche limite, où u et u0 sont parallèles. En remplaçant p, les équations sont :

 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=u_0{\partial u_0 \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

avec les conditions limites

 {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0

Pour un fluide dans lequel la pression statique p ne dépend pas de la direction d'écoulement du fluide :

 {\partial p\over\partial x}=0

donc u0 reste constant.

Les équations de mouvement simplifiées sont :

 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}={\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

Ces approximations sont utilisées dans un grand nombre de problèmes scientifiques et d'ingénierie (L'ingénierie désigne l'ensemble des fonctions allant de la conception et des études à la...). L'analyse précédente est pour toute couche limite (laminaire ou turbulente), mais les équations sont principalement utilisées pour étudier la couche limite laminaire. En effet la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) de la vitesse correspond à la vitesse instantanée car il n'y a pas la présence de fluctuations de vitesses.

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