Fluide parfait - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité et de la conductivité thermique. Avec en sus l'hypothèse, de validité très générale, de conservation de la masse (Avant de découvrir que la masse est une des formes de l'énergie, les lois de la physique et de la...), le mouvement du fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) est donc isentropique.

Mathématiquement cela revient à annuler les termes correspondants dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Navier-Stokes, on obtient ainsi l'équation d'Euler des fluides. Ce sont le produit des coefficients de viscosité et de conductivité thermique (La conductivité thermique est une grandeur physique caractérisant le comportement des...) (et pas seulement ces coefficients) avec respectivement les cisaillements de vitesse (On distingue :) et les gradients thermiques, qui doivent être négligeables.

Tous les fluides ayant une viscosité (sauf un superfluide (La superfluidité est un état quantique de la matière qui a été découvert pour la première...), ce qui en pratique ne concerne guère que l'hélium (L'hélium est un gaz noble ou gaz rare, pratiquement inerte. De numéro atomique 2, il...) à très basse température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...) et l'intérieur d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une...) à neutrons), le fluide parfait (En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son...) ne peut être qu'une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) pour une viscosité tendant vers zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...). Cela revient à faire tendre le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de Reynolds vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...). Ce type de situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) est cependant très courant, par exemple en aérodynamique (L'aérodynamique est une branche de la dynamique des fluides qui porte principalement sur la...) (où des nombres de Reynolds très grands sont en jeu). Dans ces conditions, les zones de cisaillement important (où la viscosité et la turbulence (La turbulence désigne l'état d'un fluide, liquide ou gaz, dans lequel la vitesse...) sont influentes) sont concentrées dans des espaces restreints, appelés couches limites, et la description globale de l'écoulement par un fluide parfait peut être adéquate.

En cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système...), les différentes formes de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) qui emplissent l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) peuvent être considérées, du moins aux échelles où l'univers est homogène comme des fluides parfaits. Comme l'écoulement d'un fluide parfait est isentropique, l'expansion de l'univers est parfois décrite comme étant adiabatique (En thermodynamique, une transformation est dite adiabatique (du grec adiabatos, « qui ne peut...), s'identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les...) sous certains aspects à la détente d'un gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et...) sans échange de chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent :...) avec l'extérieur.

Propriétés essentielles

Un fluide parfait obéit à l'équation de conservation de la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...), à l'équation d'Euler sans viscosité, ces deux équations formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de...) les équations de base des fluides non dissipatifs, ainsi qu'à une version du premier principe de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur...), ce deux aspects (mécanique des fluides et thermodynamique) étant intimement liés.

Les deux premières équations s'écrivent, en notant ρ la masse volumique (La masse volumique est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par...) du fluide, P sa pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...) et v sa vitesse :

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf{v}}) = 0 ,
\frac{\partial {\mathbf{v}}}{\partial t} + ({\mathbf{v}} \cdot \nabla) {\mathbf{v}} = - \frac{\nabla P}{\rho} + {\mathbf{f}} ,

{\mathbf{f}} représente la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) de forces s'exerçant sur le fluide. Par exemple, si l'on considère la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous...) terrestre, on a

{\mathbf{f}} = {\mathbf{g}},

{\mathbf{g}} représentant l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...) de la pesanteur.

Formalisme mathématique

Un fluide parfait peut être décrit à l'aide d'un tenseur (Tenseur) énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) impulsion T. À partir duquel on peut retrouver les équations (conservation de la masse et Euler, plus premier principe de la thermodynamique) auxquelles obéit le fluide parfait. Celui-ci s'écrit

{\mathbf{T}} = \left(P + \rho\right) \frac{{\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}}{c^2} - P {\mathbf{g}},

ou, en termes de composantes,

T^{\alpha \beta} = \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} - P g^{\alpha \beta},

ρ représente la densité d'énergie du fluide, somme de sa densité d'énergie interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) ε et de sa densité d'énergie de masse (En 1905, Albert Einstein postule que la masse est une des formes que peut prendre l'énergie. Tout...) μc2, μ étant la masse volumique de l'élément de fluide et c la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...), u la quadrivitesse du fluide (c'est-à-dire la vitesse d'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de cet élément), et g le tenseur métrique (Tenseur). La relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein...) et la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...) stipulent que le tenseur énergie impulsion d'un fluide est « conservé », c'est-à-dire que sa divergence est nulle. Cette équation s'écrit, en termes de composantes,

D_\alpha \left(\left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} - P g^{\alpha \beta}\right) = 0,

D représentant la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) ordinaire (en relativité restreinte) ou la dérivée covariante (en relativité générale). Le calcul donne alors

\frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} D_\alpha \left(P + \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha}{c^2} D_\alpha u^\beta + \left(P + \rho\right) \frac{u^\beta}{c^2} D_\alpha u^\alpha - D^\beta P = 0.

C'est cette équation qui permet de retrouver les trois équations précitées.

Page générée en 0.157 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique