Endomorphisme autoadjoint - Définition
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Introduction
En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien. Sur ces espaces de Hilbert de dimension finie, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une certaine base orthonormale et ses valeurs propres (même dans le cas hermitien) sont réelles. Les applications des propriétés structurelles d'un endomorphisme autoadjoint (donc de sa forme quadratique associée) sont nombreuses.
Définition
Définition — Soit
Une telle application admet donc un adjoint a * (égal à
Applications
En mathématiques, la structure des endomorphismes autoadjoints permet de résoudre des équations différentielles linéaires, de trouver une base orthogonale pour deux formes quadratiques si l'une est définie positive ou de classifier les quadriques. En physique, elle est utilisée pour résoudre de nombreuses équations aux dérivées partielles comme celle de la corde vibrante ou exprimer le moment d'inertie d'un solide. Elle permet en statistique d'établir la méthode des moindres carrés ou d'étudier un échantillon à l'aide de l'analyse en composantes principales. Enfin de nombreuses méthodes de calcul numérique se fondent sur cette propriété. Ces applications sont traitées dans l'article théorème spectral. Le cas de la dimension infinie est du domaine de l'analyse fonctionnelle.
Propriétés
Forme bilinéaire symétrique (resp. forme hermitienne) associée
Par le théorème de représentation de Riesz, il existe un isomorphisme de
Forme associée à un autoadjoint — La forme bilinéaire (resp. sesquilinéaire) Φa est symétrique (resp. hermitienne) si et seulement si a est autoadjoint.
Remarque sur les formes quadratiques. Par restriction de Φ, les endomorphismes autoadjoints sont donc en bijection avec les formes bilinéaires symétriques (resp. les formes hermitiennes). Or ces dernières sont elles-mêmes en bijection avec les formes quadratiques (voir l'article Identité de polarisation). La composée de ces deux bijections associe à tout endomorphisme autoadjoint a la forme quadratique
-
En résumé, si deux endomorphismes autoadjoints ont même forme quadratique associée alors ils sont égaux.
L'isomorphisme Φ permet d'ajouter deux définitions :
Endomorphisme positif et défini positif — Un endomorphisme autoadjoint a est dit positif (resp. défini positif) si et seulement si Φa l'est.
Par exemple pour tout endomorphisme a, l'endomorphisme autoadjoint aa* est toujours positif, et il est défini positif si et seulement si a est injectif.
Dimension finie
Ici, H désigne un Hilbert de dimension finie n. Une matrice carrée à coefficients complexes est appelée matrice autoadjointe (ou hermitienne) si elle est égale à sa matrice adjointe. Dans le cas où ses coefficients sont réels, cela équivaut à dire que c'est une matrice symétrique. La caractérisation suivante est immédiate mais très utile :
Matrice d'un endomorphisme autoadjoint — Un endomorphisme d'un espace euclidien ou hermitien est autoadjoint si et seulement s'il existe une base orthonormale dans laquelle sa matrice est autoadjointe. De plus, lorsque c'est le cas pour une base orthonormale, ça l'est pour toutes.
La structure d'un endomorphisme autoadjoint en dimension finie (ou, ce qui revient au même, d'une matrice autoadjointe) est simple (ce théorème spectral se généralise en dimension infinie dans le cas d'un opérateur normal compact) :
Diagonalisation d'un endomorphisme autoadjoint et d'une matrice autoadjointe —
- Un endomorphisme d'un espace euclidien ou hermitien est autoadjoint si et seulement s'il existe une base orthonormale de vecteurs propres, avec valeurs propres toutes réelles.
- Une matrice carrée complexe A est autoadjointe si et seulement s'il existe une matrice unitaire U telle que U.A.U-1 soit diagonale et réelle.
- Une matrice carrée réelle A est symétrique si et seulement s'il existe une matrice orthogonale P telle que P.A.P-1 soit diagonale et réelle.
Le sens "si" est immédiat puisqu'une matrice diagonale réelle est autoadjointe.
Pour la réciproque, on peut utiliser que dans un espace hermitien, tout endomorphisme normal a est diagonalisable dans une base orthonormale et que si λ est une valeur propre pour a et v un vecteur propre associé alors v est propre pour a* pour la valeur propre conjuguée. En appliquant cela à un endomorphisme a qui est non seulement normal mais autoadjoint, le cas hermitien du théorème ci-dessus est démontré. Le cas euclidien s'en déduit par complexification (avec quelques subtilités techniques).
Une preuve plus directe de la réciproque (qui reprend les techniques de réduction des endomorphismes normaux) permet d'éviter la complexification et de traiter simultanément les cas hermitien et euclidien, en deux temps : on montre d'abord que toutes les valeurs propres de a sont réelles et qu'en dimension non nulle il en existe au moins une (même dans le cas euclidien), puis on réduit a par récurrence sur la dimension de l'espace :
- Soient A une matrice autoadjointe (réelle ou complexe), λ une racine de son polynôme caractéristique (il en existe au moins une, mais a priori complexe), et X une matrice colonne complexe non nulle telle que AX=λX. Alors
or X*.X est non nul, donc λ est réel.
- Soient a un endomorphisme autoadjoint d'un espace H euclidien ou hermitien de dimension non nulle, λ une valeur propre de a (d'après ce qui précède, il en existe au moins une), F le sous-espace propre associé, et G son orthogonal. Alors a se restreint en un endomorphisme autoadjoint de G, pour lequel (par hypothèse de récurrence) il existe une base orthonormée propre. On conclut en complétant celle-ci par une base orthonormée de F.
Par exemple une projection est autoadjointe si et seulement si c'est une projection orthogonale et il en est de même pour une symétrie.
La diagonalisation ci-dessus se reformule en termes de forme quadratique :
Orthogonalisation simultanée d'une forme quadratique et d'un produit scalaire — Soient H un espace euclidien ou hermitien et Ψ une forme bilinéaire symétrique (resp. une forme hermitienne) sur H. Alors il existe une base orthonormale de H qui est orthogonale pour Ψ, c'est-à-dire dans laquelle la matrice associée à Ψ est diagonale. De plus, les coefficients de cette matrice sont tous réels.
Norme et rayon spectral
Tout opérateur normal (en particulier tout opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert a un rayon spectral égal à sa norme d'opérateur. Dans le cas particulier où la dimension est finie, le rayon spectral est le plus grand des modules des valeurs propres, et la preuve est élémentaire. (Pour ces preuves, voir l'article détaillé Opérateur normal).
Décomposition en autoadjoints et antiautoadjoints
Une application
Un endomorphisme antiautoadjoint est donc un endomorphisme opposé à son adjoint.
Décomposition de
En effet, ces deux sous-ensembles sont des sous-espace vectoriels supplémentaires, comme sous-espaces propres (pour les valeurs propres 1 et -1) d'un endomorphisme involutif de l'espace vectoriel réel
