Équation diophantienne - Définition

Géométrie algébrique

La démarche fondée sur l'analyse fine d'un corps de nombres possède des limites. Pour une équation polynomiale diophantienne non homogène, c'est-à-dire si le degré des différents monômes n'est pas le même, les outils imposent des acrobaties limitant largement la portée de la méthode. Même dans les cas les plus simples, comme celui de l'extension cyclotomique, la structure des idéaux premiers est parfois complexe, tel est le cas pour les idéaux associées à des nombres premiers non réguliers.

En revanche, les outils développées dans ce contexte, se généralisent à d'autres branches des mathématiques. La théorie des anneaux, et particulièrement des anneaux de Dedekind avec ses idéaux premiers ou fractionnaires s'appliquent aussi à la géométrie algébrique. Une variété algébrique se définit comme l'ensemble des racines communes d'un idéal de polynômes. La théorie de Galois est aussi opérationnelle dans ce domaine. Enfin d'autres outils sont disponibles, un polynôme se dérive alors qu'un entier non, une surface possède de nombreuses propriétés topologiques comme le genre, source de théorèmes nouveaux.

Une équation polynomiale diophantienne s'interprète aussi comme l'intersection d'une variété algébrique et d'un réseau égal à Zⁿ. Cette approche permet des méthodes de résolutions simples d'équations diophantiennes comme la recherche de triplets pythagoricien. Ces différentes raisons poussent le XX^e siècle à étudier les équations diophantiennes avec cet axe.

Le dixième problème de Hilbert

Ces problèmes traditionnels sont posés et souvent non résolus durant des siècles. Les mathématiciens d'ailleurs en viennent graduellement à les comprendre dans leur profondeur (dans certains cas), plutôt qu'à les traiter comme des puzzles. En 1900, en reconnaissance de leur profondeur, Hilbert proposa la résolubilité de tous les problèmes diophantiens comme le dixième de ses célèbres problèmes. En 1970, un nouveau résultat en logique mathématique connu sous le nom de théorème de Matiyasevich le résolut négativement : en général les problèmes diophantiens ne sont pas résolubles, au sens où l'on peut construire explicitement de tels problèmes pour lesquels l'existence d'une solution est indécidable (dans le système axiomatique où l'on s'est placé ; on construit un polynôme précis en partant de la liste des axiomes). Le point de vue de la géométrie diophantienne, qui est une application des techniques de la géométrie algébrique dans ce domaine, a continué de croître comme résultat ; puisqu'en traitant arbitrairement les équations, cela mène à une impasse, l'attention se tourne vers les équations qui ont aussi un sens géométrique.

Recherche moderne

Une des approches générales est à travers le principe de Hasse. La descente infinie est la méthode traditionnelle, et a été poussée très loin.

La profondeur de l'étude des équations diophantiennes générales est montrée par la caractérisation des ensembles diophantiens comme récursivement énumérables.

Le domaine de l'approximation diophantienne a à voir avec les cas d'inégalités diophantiennes : les variables sont toujours supposées être entières, mais certains coefficients peuvent être des nombres irrationnels, et le signe de l'égalité est remplacé par des bornes supérieures et inférieures.