Evangelista Torricelli - Définition

Torricelli cinématicien, élève de Galilée

La cycloïde

Admirateur de Galilée, élève doué de Cavalieri, il va poursuivre des idées qui existaient déjà chez Roberval.
Jean Itard (historien du Centre Koyré, Paris) a minutieusement mené l'enquête au sujet de la quadrature de la cycloïde :
Galilée aurait répondu qu'il avait vainement cherché, y compris en découpant un patron en carton et en le pesant. La compétition Roberval-Torricelli est plus serrée, et il est difficile d'y voir clair, car à l'époque, on déclarait avoir trouvé, mais on ne publiait pas, de peur que l'autre vous double : les questions de priorité seront le cauchemar du XVIIe.
Mais le résultat de l'enquête est là : priorité à Roberval, sans méconnaître les mérites de Torricelli (cf. cycloïde).

Diagramme horaire

En revanche, il est vraiment l'inventeur du diagramme horaire et du diagramme des espaces : il dit très clairement en toute généralité, puis sur des exemples simples, que si la vitesse du mobile est v(t), son abscisse sera , dans nos notations modernes qui datent de Leibniz (Lettre à Oldenburg du 29 oct 1675).

Et réciproquement, Torricelli parle du « théorème d'inversion »: si on possède x(t), la « tangente » donnera la vitesse :

,

où TT₁ est la sous-tangente, T est le point de l'axe des abscisses d'abscisse t, T₁ est le point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse t avec l'axe des abscisses.

Il en est donc au même niveau que Barrow en Angleterre. En tout cas, James Gregory, élève à Bologne, avec les continuateurs de l'œuvre de Cavalieri, sut en profiter.

Diagramme des espaces : la formule ne lui fait plus peur, alors que Galilée hésitait, ne voulant pas utiliser les travaux de Cavalieri.

Parabole de sûreté

• Voir article détailé : Parabole de sûreté

C'est lui qui, pour la première fois invente la notion d'enveloppe, et trouve la solution complète de la chute libre « avec violence », et la description complète de la parabole de sûreté, via une méthode peu connue.
Malheureusement, il ne compléta pas son travail : sans introduction de la résistance de l'air, la notion d'asymptote (cf. balistique extérieure) n'existe pas ; et son travail est la risée des artilleurs (les bombardieri).

Coordonnées polaires

Par ailleurs, par sa méthode des indivisibles courbes, il va pouvoir traiter les problèmes de courbes en coordonnées polaires, à une époque où Descartes venait tout juste de parler de coordonnées cartésiennes : il sait intégrer l'aire et la longueur des spirales r = θ^k ; mais surtout, il va découvrir la cochlée (cf. spirale logarithmique) et ses propriétés extraordinaires (Opere, III, p 368, p 477, Lettres à Ricci de 1646 et à Cavalieri(1598-1647)):

Soit une spirale logarithmique, l'arc issu de M s'enroule une infinité de fois autour de O mais sa mesure est finie : tracer la tangente en M. Y placer le point C de manière que le triangle OCM soit isocèle.
L'arc mesure OC+ CM.
L'aire balayée par OM est égale à l'aire du triangle OCM.
Bernoulli n'aurait pas dit mieux.

Torricelli, élève de Cavalieri

Torricelli, grand admirateur de Cavalieri, dépassa le maître dans l'utilisation de la méthode des indivisibles, car pour la première fois, il va considérer des quantités homogènes : en sommant de « petites » aires, on obtient une aire, etc. La largeur des lignes vient résoudre les paradoxes de Cavalieri.

Torricelli et les indivisibles

Cavalieri est sans doute le premier à démontrer, à l'aide des indivisibles, que l’aire sous la courbe d'équation y = x^{n − 1} entre les points d'abscisses x₁ et x₂ est

pour n entier supérieur à 1.

Fermat généralise cette relation pour n rationnel positif supérieur à 1 et n entier inférieur strictement à -1 en utilisant des séries.

Torricelli va généraliser le travail des indivisibles de Cavalieri à ce que la thermodynamique actuelle appelle un processus polytropique :

Soit PVⁿ=cste,

C'est le cas dit « hyperbolique » (avec n différent de 1 ; le cas n = 1 ne pourra s'obtenir qu'en utilisant les logarithmes)

Appelons A₁ et A₂ les deux points sur la courbe polytropique, B₁ et B₂ leur abscisse ; C₁ et C₂ leur ordonnée. Le tour de force de Torricelli est de comparer les aires des trapèzes curvilignes S₁ = aire(A₁B₁B₂A₂) et S₂ = aire(A₁C₁C₂A₂). Il démontre que S₂ = nS₁. Ensuite il lui suffit de faire la différence des deux aires

S₁ − S₂ = − (n − 1)S₁

S₁ − S₂ = aire(OB₂A₂C₂) − aire(OA₁C₁) = P₂V₂ − P₁V₁

d'où

Pour démontrer l'égalité : S₂ = nS₁, Torricelli compare les aires des gnomons y.dx et x.dy. De nos jours, le calcul se fait aisément en différentiant PVⁿ

VⁿdP + nPV^{n − 1}dV = 0 d'où VdP = − nPdV

Mais le dire en 1646 reste un tour de force. Ce que vient de découvrir Torricelli, c'est que, dans cette figure infinitésimale, les aires des gnomons y.dx et x.dy sont à considérer et ce sont ces aires que l'on somme : il faut donc considérer les épaisseurs des « lignes de Cavalieri. »

Pour les volumes de révolution, il comprit aussi que les rondelles de salami ont un volume, et qu'il faut donc sommer les volumes infinitésimaux.

Il redémontre, grâce aux indivisibles, la célèbre relation d'Archimède, inscrite sur sa tombe, concernant le volume du bol (S) hémisphérique, celui du cylindre droit (D) de même rayon r et de hauteur r et celui du cône de révolution de rayon r et de hauteur r :

Il est également l'inventeur de la trompette de Gabriel, une figure géométrique qui présente la particularité étonnante de posséder une surface infinie mais un volume fini. C'est le résultat de la rotation d'une partie de l'hyperbole équilatère y=1/x, pour x>1, autour de l'axe (Ox).

Il démontre aussi la formule du volume du tonneau ou formule des trois niveaux (lettre à Roberval 1643):

Soit un solide de révolution de méridienne une conique. Coupons-le en 2 niveaux z₁ et z₂. Soit z₂ − z₁ = h. Soit S₁ l'aire du disque de cote z₁, S₂ celle du disque de cote z₂, S_m l'aire du disque de cote moyenne alors

Il en déduit le volume du rond de serviette :

Soit une sphère de rayon R. Ôter par perçage le cylindre, centré, vertical, de base circulaire, ce qui ne laisse qu'un volume annulaire, appelé vulgairement « rond de serviette », de hauteur 2h.

Ce volume se calcule en ôtant au volume du tonneau de hauteur 2h le cylindre de rayon . On peut remarquer que ce résultat est indépendant du rayon R de la sphère de départ et ne dépend que de la hauteur h du rond de serviette (pour R > h)

Calcul des barycentres

Torricelli s'intéresse aussi au barycentre des solides étudiés. Ainsi, dans la même lettre adressée à Roberval, précise-t-il la position du centre de gravité du tonneau :

Soit un solide de révolution de méridienne une conique. Coupons-le en deux niveaux z₁ et z₂ et notons h = z₂ − z₁. Soit S₁ l'aire du disque de cote z₁, S₂ celle du disque de cote z₂, S_m l'aire du disque de cote moyenne alors le centre de gravité G a pour cote z_G telle que :

Enfin, généralisant une coupe de pierre en biseau que lui avait proposée Cavalieri, il publie le 7 avril 1646, la formule pour le centre de gravité (réécrite en notation moderne) :

Soit x = f(z) l'équation de la méridienne d'une surface de révolution, limitée par les plans z = a et z = b. Alors le barycentre de la surface méridienne a pour cote z_G vérifiant

Et le barycentre G' du volume a pour cote z_G' vérifiant

Torricelli avait-il connu les théorèmes de Guldin de 1643 ? En tout cas, leurs recherches se complétaient.