Parabole de sûreté
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Soit un boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme g.

Sa trajectoire sera dans le plan vertical (O, Vo, g). Selon la célèbre loi de la chute libre énoncée en 1602 par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du...) (1568-1642), son mouvement ne dépend ni de sa masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la masse...), ni de sa densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps...).

Il est régi par la seule équation :

\vec{OB} = \frac {1}{2}.\vec{g}.t^2+\vec{V_0}.t ,

qui est l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) d'une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé...) en coordonnées affines (de vecteurs de base g et ).

Pour un module V° donné, quelle que soit la direction donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) à la " hausse " du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) (C) qui " entoure " le point (Graphie) O ; au-delà de (C), " on est en sûreté ", d'où le nom de la courbe.

Dans le cas présent, (C) est une parabole, d'où le titre : parabole de sûreté (Soit un boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme g.) :

En coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.), en partant de l'apex H de la parabole, son équation est :

OP = r = \frac {p}{(1 + cos \theta)} , avec p = \frac{V_0^2}{g} (portée horizontale).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...)

Elle a été donnée par Galilée, améliorée par Torricelli, son élève (de 1640 à 1642). La voici :

Soit φ = angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) (OH,V°). Soit P le point de portée maximale,sur (C). Il faut démontrer, avec θ = 2φ, que OP = p/2cos2φ, avec p/2 = OH.

Soit OR = t , le mouvement comme rien ! et RP = -1/2 g t^2 la chute verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.).

Considérer le losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.) OPRQ de côtés égaux OP=RP=RQ=OQ = 1/2 g.t^2, de centre C : la cote zC vaut OH ; alors on lit :

géométriquement, OC = \frac {OH}{cos\phi} et OP = \frac {OC}{cos\phi}

soit OP = \frac {OH}{cos^2 \phi}, CQFD (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations...).

Note d'Histoire

Le père minime Mersenne (1588-1648) fut ébahi par une démonstration si simple, et adressa une lettre au jeune Huygens (1629-1695), alors jeune homme, qui répondit immédiatement qu'il en était " fort bien ainsi ".

Bien faire attention au fait que ce sont des problèmes de théoriciens : on est bien loin de se préoccuper de la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) réelle d'un boulet.

En réalité, Torricelli est le premier à mettre la relativité galiléenne en acte : son idée ? Extrêmement simple, mais géniale : quelle que soit la position B1 du boulet B, à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une...) t1, avec la vitesse (On distingue :) V1, il suffit de se placer dans le référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement...) tangent pour retrouver une chute verticale B1B = 1/2 g (t-t1)^2. Ce sera pour la première fois sans doute le fameux dessin du " funiculaire à rochets " : le mobile poursuit sa course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.) tangentielle , et retombe sur sa trajectoire, etc. Appris très jeune par Huygens, cela ne lui posera aucun problème de calculer ensuite l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est...) centripète du mouvement circulaire (encore qu'il préférât toujours parler de force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...) centrifuge). Il n'y avait qu'un pas à franchir : ce fut Newton.

Relativité galiléenne ?

Mais encore bien plus : Torricelli a-t-il pu traiter formellement le problème de covariance (Pour le principe physique, voir Principe de covariance générale.) galiléenne suivant : soit une vitesse nulle au départ. Intuitivement le corps tombe verticalement : OB = k f(t). Appliquons maintenant le principe d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur...) et celui de relativité galiléenne et l'invariance temporelle et locale des lois : pour 2 temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) t1 et t2, on doit avoir :

OB(t1+t2) = (t1+t2) + k f(t1+t2) = OB1 + V1.t2 + k f(t2), avec OB1 = .t1 +k f(t1) et V1 = +k f '(t1).

Soit f(t1+t2) = f(t1) +f(t2) +f '(t1).t2

Comme t1 et t2 sont commutatifs, f'(t1).t2 = f'(t2).t1 : donc f'(t)/t=cste ; la vitesse est nécessairement fonction linéaire (Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples que l'on rencontre. Ce sont des cas particuliers...) du temps : f'(t) = g.t : dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) invariant par position, c’est-à-dire produisant en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point initial, de vitesse nulle, le même mouvement, alors la relativité galiléenne impose la linéarité temporelle de la vitesse : V(t) = g.t .

Personnellement, je serais heureuse de retrouver qui, le premier, a écrit un papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles...) de ce goût-là : avis (Anderlik-Varga-Iskola-Sport (Anderlik-Varga-Ecole-Sport) fut utilisé pour désigner un projet hongrois de monoplace de sport derrière lequel se cachait en fait un monoplace de chasse destiné au Legüyi...) de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...). merci d'avance.

(1,3,5,7...)

La suite est mieux connue : très habilement en construisant le diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé...) des vitesses, Galilée retrouve la célèbre loi du trapèze : B1B2 = (V1+V2)/2 .(t2-t1) , soit des accroissements de distance comme 0+1, 1+2 , 2+3 ,3+4 , ... Nous préférons dire aujourd'hui un anachronique et sec z = 1/2 g t^2. Oui ! On n'a jamais le temps.

Et rajoutera Torricelli V(x) = sqrt(2gx); ou V22V12 = 2g(z1 − z2)

Soit V1^2 + 2g z1 = V^2 + 2g.z = cste = (2E° pour nous aujourd'hui): c'est la formule de Torricelli qu'il appliquera à l'écoulement de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.), par un raisonnement que perso, je n'ai jamais lu. Comme V^2 >0, on obtient un z maximum : c'est cette idée que Torricelli va transmettre au jeune Huygens via Mersenne : oui, ainsi va la science ; si j'ai pu voir plus loin c'est parce que j'étais juché sur des épaules de géants...

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