Solide de Platon - Définition

Symétrie

Polyèdre dual

Un dual cube-octaèdre.

Chaque polyèdre possède un polyèdre dual avec les faces et les sommets interchangés. Le dual de chaque solide de Platon est un autre solide de Platon, c’est-à-dire que nous pouvons arranger les cinq solides en paires duales.

• Le tétraèdre est auto-dual (i.e. son dual est un autre tétraèdre).
• Le cube et l'octaèdre forment une paire duale.
• Le dodécaèdre et l'icosaèdre forme une paire duale.

Si un polyèdre possède un symbole de Schläfli {p, q}, alors son dual possède le symbole {q, p}. En effet, chaque propriété combinatoire d'un solide de Platon peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du dual.

Groupes de symétrie

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre possède un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On fait souvent une distinction entre le groupe de symétrie total, qui inclut les réflexions, et le groupe de symétrie propre, qui inclut seulement les rotations.

Les groupes de symétrie des solides de Platon sont connus sous le nom de groupes polyédriques (qui sont une classe particulière des groupes de point en trois dimensions). Le haut degré de symétrie des solides de Platon peut être interprété de différentes manières. Pour la plus importante, les sommets de chaque sommet sont tous équivalents sous l'action du groupe de symétrie, comme sont les arêtes et les faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les sommets, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre manière de définir la régularité d'un polyèdre : un polyèdre est régulier si et seulement s'il est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme.

Il existe seulement trois groupes de symétrie associés avec les solides de Platon plutôt que cinq, puisque le groupe de symétrie d'un polyèdre quelconque coïncide avec celui de son dual. Ceci est vu facilement en examinant la construction du polyèdre dual. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du dual et vice-versa. Les trois groupes polyédriques sont :

• Le groupe tétraédrique T,
• Le groupe octaédrique O (qui est aussi le groupe de symétrie du cube), et
• Le groupe icosaédrique I (qui est aussi le groupe de symétrie du dodécaèdre).

Les ordres des groupes propres (rotation) sont 12, 24 et 60 respectivement — précisément, deux fois le nombre des arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres des groupes de symétrie totaux sont deux fois de nouveau les ordres précédents (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.

Le tableau suivant liste les diverses propriétés de symétrie des solides de Platon. Les groupes de symétrie listés sont les groupes totaux avec les sous-groupes de rotation donnés entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La construction kaléidoscopique de Wythoff est une méthode pour la construction des polyèdres directement à partir des groupes de symétrie. Nous listons la référence du symbole de Wythoff pour chaque solide de Platon.