Structure algébrique - Définition

Structures algébriques topologiques

Structures et topologies, distances, normes ou produits scalaires

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles topologiques.

Ainsi, en allant du général au particulier (topologie > distance > norme > produit scalaire) :

• Une structure algébrique peut être munie d'une topologie, devenant ainsi un espace topologique pour lequel chacune de ses lois externes et internes sont continues.

• Un semi-groupe topologique est un semi-groupe muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne.
• Un monoïde topologique est un semi-groupe topologique unifère. C'est aussi un monoïde muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne.
• Un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne, ainsi que l'application qui à tout élément du groupe associe son inverse.
• Un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie pour laquelle le groupe additif sous-jacent est un groupe topologique et le monoïde multiplicatif sous-jacent est un monoïde topologique.
• Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui en fait un anneau topologique et pour laquelle le groupe multiplicatif des éléments non nuls est un groupe topologique.
• Un corps valué est un corps (commutatif ou non) muni d'une valeur absolue. C'est un corps topologique pour la topologie définie par cette valeur absolue.
• Un module topologique sur un anneau topologique A est un module sur A muni d'une topologie pour laquelle il est un groupe topologique et pour laquelle la loi externe est continue.
• Un espace vectoriel topologique sur un corps topologique (par exemple le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes) est un module topologique sur ce corps topologique.
• Une algèbre topologique sur un anneau topologique commutatif A est une algèbre sur cet anneau topologique A, munie d'une topologie pour laquelle elle est un module topologique sur A et pour laquelle la multiplication est continue.

• Autre exemple, la structure algébrique peut être munie d'une semi-distance, devenant un espace semimétrique :

• Les espaces semi-normés (ou espaces vectoriels semi-normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une semi-norme. Les espaces semi-normés sont des espaces semi-métriques, car il est toujours possible de construire une semi-distance à partir d’une semi-norme : on prend comme semi-distance entre deux vecteurs la semi-norme de leur différence.

• Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'une distance, devenant un espace métrique :

• Un cas important est celui des espaces vectoriels possédant une norme, qui définit la « longueur » d’un vecteur :

• Les espaces normés (ou espaces vectoriels normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une norme. Les espaces normés sont des espaces métriques, car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme : on prend comme distance entre deux vecteurs la norme de leur différence.
• Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.

• Un espace affine normé est un espace affine attaché à un espace vectoriel normé. C'est un espace métrique : il est possible de définir la distance entre deux points comme la norme du vecteur qui va du premier point au second.
• Les espaces préhilbertiens sont des espaces vectoriels réels ou complexes munis d'un produit scalaire. Ces espaces vectoriels sont des espaces normés : la norme d'un vecteur y est la racine carrée de son carré scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom :

• Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel préhilbertien réel de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme quadratique correspondante est définie positive. Un espace affine euclidien est un espace affine attaché à un espace vectoriel euclidien, muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie classique d’ Euclide.
• Un espace vectoriel hermitien est un espace vectoriel préhilbertien complexe de dimension finie.
• Un espace de Hilbert (ou espace hilbertien) est un espace préhilbertien complet. C’est donc un espace de Banach particulier. Les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens sont des exemples d'espaces de Hilbert.

Structures et géométrie différentielle et algébrique

• Un groupe de Lie réel ou complexe est un groupe muni d'une structure de variété analytique réelle ou complexe (ou de variété différentielle dans le réel, c'est suffisant) pour laquelle la loi de composition est analytique (ou indéfiniment différentiable dans le cas réel), ainsi que l'appelle qui à un élément associe son inverse. Les groupes de Lie réels et complexes sont des groupes topologiques. Un groupe topologique est le groupe topologique sous-jacent à au plus un groupe de Lie réel, et ainsi on peut dire, sans ambiguïté, que certains groupes topologiques sont des groupes de Lie réels. On peut aussi définir les groupes de Lie sur un corps valué complet commutatif K dont la valeur absolue est non triviale (en particulier sur le corps des nombres p-adiques) en remplaçant les variétés analytiques réelles ou complexes par les variétés K-analytiques.

• Un espace homogène de Lie d'un groupe de Lie réel G est une variété différentielle X, munie d'un loi externe de G sur X qui est indéfiniment différentiable.

• Un groupe algébrique sur un corps algébriquement clos K est un groupe muni d'une structure de variété algébrique sur K pour laquelle la loi de composition est régulière, ainsi que l'application qui à un élément associe son inverse.