Théorie de la diffraction - Définition

Diffraction de Fraunhofer

La diffraction de Fraunhofer ou diffraction à l'infini est un cas particulier très important où le plan d'observation est situé loin de l'objet diffractant, celui-ci étant éclairé par une onde plane (source ponctuelle à l'infini) et défini par son facteur de transmission t(X, Y).

C'est ce phénomène qui fixe la limite ultime de que l'on peut espérer d'un instrument d'optique.

Expression de l'onde diffractée

On supposera ici que la source est située sur l'axe du système et donc que E(P) est constant dans le plan diffractant.On peut alors écrire:

si quel que soit X correspondant à un point de l'ouverture.

Donc, si d est une dimension caractéristique de l'ouverture (ex: diamètre pour une ouverture circulaire), on se trouve dans les conditions de la diffraction de Fraunhofer si

d²/λr est parfois appelé nombre de Fresnel.

Le même raisonnement étant bien entendu valable aussi pour le terme (y-Y)², l'amplitude de l'onde diffractée dans les conditions de Fraunhofer s'écrit donc :

où le terme de phase constant lors de l'intégration, , et l'amplitude constante E₀(P) sont contenues dans la nouvelle constante K".

On remarque que l'amplitude diffractée est proportionnelle à la transformée de Fourier de la transmission t(X, Y). Plus précisément, si on note t la transformée de Fourier de t, E(M) est proportionnel à t(x*k, y*k) avec k le nombre d'onde égal à 2Π / r.

Physiquement, on constate que l'amplitude de l'onde diffractée ne dépend que de la direction d'observation (définie par les angles x/r et y/r), ce qui justifie le nom de diffraction à l'infini.

En pratique, observer à l'infini signifie être assez loin de l'objet diffractant pour que le nombre de Fresnel soit très inférieur à 1 ou, dans le cas de l'optique, se placer au foyer image d'une lentille. Dans ce dernier cas, la distance r doit être remplacée par la distance focale de la lentille, f, dans les formules précédentes.

Exemples de figures de diffraction

Diffraction par une fente

Diffraction par une ouverture rectangulaire

Une ouverture rectangulaire de côtés a et b correspond à une transmission t(X, Y) définie par :

t(X,Y) = 1 si |X|

t(X,Y) = 0 sinon

Le calcul de l'intensité diffractée par une telle ouverture, c’est-à-dire du carré du module de l'amplitude E(M), donne :

Dans cette expression, I₀ correspond à l'intensité maximale sur l'écran (au centre) et « sinc » est la fonction sinus cardinal définie par sinc(x)=sin(x)/x.

La figure ci-contre est une simulation de la figure de diffraction de Fraunhofer obtenue avec une ouverture rectangulaire de côtés a=0,1 mm et b=0,3 mm. On a pris λ=0,5 μm et on s'est placé au foyer image d'une lentille de distance focale f=1 m.

L'intensité des maxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin de les rendre visibles.

En l'absence de diffraction, la figure obtenue aurait simplement été un point brillant au centre de l'écran correspondant à la focalisation par la lentille des rayons incidents parallèles à l'axe.

On remarque que le côté le plus petit correspond au plus grand étalement de la lumière. En effet, les dimensions de la tache centrale sont :

Δx=2λf/a=10 mm

Δy=2λf/b=3,3 mm

Diffraction par un rideau

C'est une application de l'exemple précédent. Lorsqu'une source de lumière quasiment ponctuelle est observée à travers un rideau ou un voilage, on peut voir des figures de diffraction telles celles-ci :

Voilages de cuisine classiques

Zoom vers une lumière extérieure allumée de jour

Zoom vers la même lumière extérieure mais de nuit

Idem, avec une luminosité permettant de mieux distinguer les lobes secondaires

Elles résultent de la diffraction de la lumière par le rideau, dont le tissu constitue tout un ensemble d'ouvertures carrées. La mesure de l'angle entre la tache centrale et sa voisine permet d'obtenir le pas du rideau.

Les irisations des taches proviennent du fait que chaque longueur d'onde construit sa propre figure de diffraction, légèrement différente de celle d'une longueur d'onde voisine. Les endroits où les figures coïncident sont blancs (en particulier la tache centrale), les autres sont colorés. On constate que la répartition des couleurs est logique car les maxima du sinus cardinal sont obtenus régulièrement (tous les Π / 2 et x, distance d'un point au centre de la tâche, est proportionnel à λ

Diffraction par une ouverture circulaire

Il est ici plus commode d'utiliser les coordonnées polaires (R,θ) plutôt que les coordonnées cartésiennes (X,Y). Une ouverture circulaire de diamètre d correspond alors à une transmission t(R,θ) définie par :

t(R,θ) = 1 si | R | < d / 2,

t(R,θ) = 0 sinon.

Le calcul de l'intensité diffractée par une telle ouverture donne :

où et

La répartition d'intensité présente la même symétrie de révolution que la pupille. La figure obtenue est appelée figure d'Airy. Dans cette expression, I₀ correspond à l'intensité maximale sur l'écran (au centre) et J₁(η) désigne la fonction de Bessel d'ordre 1.

La figure ci-contre est une simulation de la figure de diffraction de Fraunhofer obtenue avec une ouverture circulaire de diamètre d = 0,2 mm. On a pris λ = 0,5 µm et on s'est placé au foyer image d'une lentille de distance focale f = 1 m.

L'intensité des maxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin de les rendre visibles.

Le rayon de la tache centrale est
Δρ = 1.22λf / d = 3 mm.

En notant le rayon de l'ouverture r = d / 2, on obtient
Δρ = 0.61λf / r = 3 mm.

Résolution d'un instrument d'optique

Le rôle de la plupart des instruments d'optique (microscope, objectif d'appareil photo, télescope…) est de former des images. Du point de vue de l'optique géométrique, un instrument « parfait », c'est-à-dire exempt d'aberrations, fait correspondre à un point objet un point image (voir aussi Stigmatisme).

En réalité, lors leur cheminement à travers l'instrument, les faisceaux lumineux sont diaphragmés par les montures des lentilles et donc diffractés. L'image d'un point source par un instrument dépourvu d'aberrations n'est donc pas un point image mais une tache de diffraction. On peut montrer que la répartition d'intensité dans le plan de l'image est donnée par les formules de diffraction de Fraunhofer. Les montures des lentilles ou miroirs étant la plupart du temps circulaires, la figure de diffraction obtenue est une tache d'Airy décrite dans le paragraphe précédent.

Ainsi, deux points objets rapprochés peuvent donner deux images trop proches pour être distinguées si la distance entre ces images est du même ordre de grandeur que la taille de la tache de diffraction. On appelle résolution l'écart minimal entre deux points objets pour qu'on puisse les distinguer avec l'instrument d'optique considéré.

Quantitativement, on utilise le critère de Rayleigh selon lequel deux images A' et B' correspondant à deux points A et B sont distinctes si le sommet de la tache de diffraction de l'une correspond au premier minimum nul de l'autre.

Prenons le cas simple de la formation d'une image par une lentille mince de diamètre d. On note l la distance objet-lentille et l' la distance lentille-image. A' et B' sont séparés si

Comme AB = A'B'l / l', la condition précédente devient:

En pratique, le rapport l/d est supérieur ou voisin de 1. La résolution est donc au mieux du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de la lumière utilisée, entre 0,4 et 0,8 micromètres pour la lumière visible. Ce résultat est général.

Ceci explique par exemple pourquoi un microscope optique ne peut pas distinguer des détails inférieurs à quelques dixièmes de micromètres. Des résolutions bien meilleures peuvent par exemple être obtenues avec des microscopes électroniques.
D'autre part, la résolution s'améliore lorsque le diamètre augmente. C'est pourquoi les miroirs des télescopes font jusqu'à plusieurs mètres de diamètre.

Quelques propriétés générales