Théorie des jeux - Définition et Explications

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Introduction

Le dilemme du prisonnier est une célèbre illustration en théorie des jeux d'un jeu à somme non nulle.

La théorie des jeux constitue une approche mathématique de problèmes de stratégie (La stratégie - du grec stratos qui signifie « armée » et ageîn qui signifie « conduire » - est :) tels qu’on en trouve en recherche opérationnelle (La recherche opérationnelle (aussi appelée aide à la décision) peut être définie comme l'ensemble des méthodes et techniques rationnelles d'analyse et de synthèse des phénomènes...) et en économie. Elle étudie les situations où les choix de deux protagonistes - ou davantage - ont des conséquences pour l’un comme pour l’autre. Le jeu peut être à somme nulle (ce qui est gagné par l’un est perdu par l’autre, et réciproquement) ou, plus souvent, à somme non-nulle. Un exemple de jeu à somme nulle est celui de la mourre, ou celui du pierre-feuille-ciseaux.

Historique

Trois grandes étapes

  • La théorie des jeux initiale, de John von Neumann (John von Neumann (né Neumann János, 1903-1957), mathématicien et physicien américain d'origine hongroise, a apporté d'importantes...) et Oskar Morgenstern (Oskar Morgenstern (Görlitz 1902 - Princeton 1977), mathématicien et économiste américain d'origine allemande, est professeur à l'université de Vienne...), utilisait des cas de choix qui restaient les mêmes au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), et qui étaient à somme nulle.
  • Les jeux à somme non-nulle furent étudiés ensuite, et utilisés dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) de la négociation (La négociation est la recherche d'un accord, centrée sur des intérêts matériels ou des enjeux quantifiables entre deux ou plusieurs interlocuteurs (on ne négocie pas avec soi-même, on...). On découvrit que leur étude permettait d’aborder de façon mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) des questions jusque là restées d’ordre philosophique, comme la morale.
  • On s’intéressa ensuite aux jeux où le choix se posait en termes différents à chaque étape, que l’on nomma un temps théorie des jeux combinatoires. Celle-ci est plutôt aujourd’hui, pour des raisons de commodité et de communauté de concepts, considérée comme une branche soit de la théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux acceptions :), soit de ce qu’on nomme l’intelligence artificielle.

Détails

La théorie des jeux a fait l’objet de résultats assez anciens, à partir des travaux de Blaise Pascal (Blaise Pascal, né le 19 juin 1623 à Clairmont (aujourd'hui Clermont-Ferrand), en Auvergne et mort le 19 août 1662 à Paris, est un...) sur le "problème des partis", donnant une première intuition des probabilités et de l’espérance mathématique, et de son étonnant pari. Elle n'est devenue une branche importante des mathématiques qu’à partir des années 1940. Surtout après la publication de la Théorie des jeux et du comportement économique (Theory of Games and Economic Behavior) par John von Neumann et Oskar Morgenstern, en 1944. Cet ouvrage fondateur détaillait la méthode de résolution des jeux à somme nulle.

Lors de sa présentation, la théorie rencontra une vive opposition de la part des états-majors. Ceux-ci acceptaient volontiers l’usage de tirages au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) dans les jeux de Kriegspiel des écoles militaires. Mais l’idée de remettre au sort, le fait d’escorter réellement ou non tel ou tel convoi ( Un convoi est un ensemble de véhicules terrestres ou maritimes, généralement non attelés, circulant ensemble vers une destination commune ; un convoi funèbre est le cortège formé par le corbillard suivi des proches du défunt...), au nom des stratégies mixtes, ne les enthousiasmait guère. Issus du terrain et sachant ce qu’étaient des pertes humaines, ils jugeaient le procédé, pour le moins, cavalier.

Vers 1950, John Nash (John Nash (1752 à Londres - 13 mai 1835 à Cowes) est un architecte britannique.) a présenté une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d’une stratégie optimale, pour un jeu à plusieurs joueurs, dite équilibre de Nash (John Nash a défini une situation d'interaction comme stable si aucun agent n'a intérêt à changer sa stratégie. La formalisation de ce constat simple a été...). Ce résultat tardif génial a été raffiné par Reinhard Selten ; cela leur a valu le « prix Nobel d'économie » en 1994, pour leurs travaux sur la théorie des jeux, avec John Harsanyi (John Charles Harsanyi (29 Mai 1920 - 9 Août 2000) est un économiste hongrois, naturalisé américain. Il a contribué au développement de la théorie des jeux en mathématiques en approfondissant l'analyse des jeux à information incomplète.) qui avait travaillé sur les jeux en information incomplète.

L’association entre jeu et nombres surréels de Conway a été établie dans les années 1970.

Types de jeux

La théorie des jeux classifie les jeux en catégories en fonction de leurs approches de résolution. Les catégories les plus ordinaires sont :

Jeux coopératifs et compétitions

Les jeux coopératifs sont des jeux dans lesquels on cherche la meilleure situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus...) pour les joueurs sur des critères tels que la justice, l'entraide. On considère qu'ensuite les joueurs vont jouer ce qui aura été choisi, il s'agit d'une approche normative. Par exemple, à un croisement, chacun des deux automobilistes a la possibilité de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) ou non. Le code de la route (Le mot « route » dérive du latin (via) rupta, littéralement « voie brisée », c'est-à-dire creusée dans la roche, pour ouvrir le chemin.) impose sa stratégie à chacun des joueurs par une signalisation.

Dans les jeux coopératifs, on étudie la formation de coalitions entre les joueurs afin d’obtenir un meilleur résultat pour ses membres. C’est un concept qui n’existe pas dans les jeux non coopératifs. Le jeu non coopératif à n joueurs est une simple généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...) du jeu à deux joueurs. Par contre, dans un jeu coopératif à deux personnes, il n’y a qu’une seule coalition, et même avec quatre joueurs, il n'y aura qu'une seule coopération puisque le principe du jeu coopératif est que les joueurs s'associent pour lutter contre le jeu lui-même. Sinon, on parlera peut-être de jeu semi-coopératif coopétitif, où les joueurs peuvent former des coopérations temporaires contre les autres. Un autre concept utilisé dans les jeux coopératifs est la fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :). Soit v(C) la fonction qui donne la valeur maximin de la coalition C. Cette expression est appelée la fonction caractéristique du jeu. Par exemple, si la coalition comprenant les joueurs 1 et 2 obtient un profit de 600, on écrit v(1,2) = 600.

On peut décrire un jeu en indiquant les valeurs de la fonction caractéristique pour toutes les coalitions possibles, y compris celles ne comprenant qu'un seul joueur. On parle souvent du jeu v au lieu de dire un jeu ayant la fonction caractéristique v.

Dans un jeu à n personnes, il y a 2n − 1 coalitions non vides et autant de valeurs de la fonction caractéristique. Par définition, la valeur de la fonction caractéristique d'une coalition vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est égale à zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...).

Si des coalitions disjointes (C et Z) sont réunies en une grande coalition, on peut admettre que la valeur de la fonction caractéristique de cette grande coalition soit au moins égale à la somme des valeurs des deux coalitions:

 v(C \cup  Z) \ge v(C) + v(Z) \qquad (C \cap Z = \emptyset)

(propriété de superadditivité)

Soit N={1,2,…,n} l’ensemble des joueurs et xi la somme ou l’utilité que le joueur i reçoit. Une imputation est un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...)  x=(x_1,x_2,\ldots,x_n) qui indique ce que chaque joueur obtient dans le jeu. Prenons maintenant deux imputations possibles x et y de la coalition S. On dit que y est dominée par x si :

 (1) \quad x_i > y_i \quad \forall i \in S \quad (2) \quad \sum_{i\in S}x_i \le v(S)

L’ensemble des imputations qui ne sont pas dominées est appelé le noyau ou le coeur d’un jeu coopératif. L’imputation du noyau ne peut pas être bloquée par aucune autre imputation.

Par exemple, le jeu avec les fonctions caractéristiques suivantes:

 v(1,2,3)= 120 \ ; \ v(1,2)= 0 \ ; \ v(1,3)=v(2,3)= 120 \ ; \ v(1)=v(2)=v(3)= 0

a un noyau correspondant au point (Graphie) (0,0,120). Il suffit de modifier une fonction caractéristique (par exemple, v(1,2)=120) pour obtenir un noyau vide.

Plusieurs autres solutions d’un jeu coopératif ont été proposées, entre autres la valeur de Shapley qui est une imputation unique.

Théorie de la négociation

La théorie moderne de la négociation est articulée sur le fait qu’une négociation constitue un jeu à somme non-nulle. L’art de la négociation consiste donc moins à faire céder l’interlocuteur sur la ligne principale d’opposition (un prix, par exemple) qu’à trouver des arrangements extérieurs à cette ligne qui apporteront beaucoup à l’un sans coûter trop cher à l’autre (stratégies dites Gagnant-gagnant).

Depuis longtemps, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) cela était utilisé dans les négociations :

  • « Je ne peux accepter ce coût FOB, mais puis le considérer en CIF. »
  • « Si je vous en prends deux, m’accordez-vous 5% de remise ? »
  • « Je vous en offre tant, mais il faut vous décider tout de suite. »

voire entre particuliers :

  • « Je veux bien te le laisser à ce prix-là, mais tu offres le café ! »

« Coopétition »

La coopétition est le partage d'information au sein d'un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit...) socio-professionnel de concurrence. On parle aussi de compétition transparente. La coopétition peut s'appliquer tant à des services de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances...) et développement des organisations (qui se livrent par ailleurs une guerre féroce en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière...) commerciale), qu'au monde (Le mot monde peut désigner :) du développement des logiciels libres, qui fait appel au principes de fourches (un projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et l’intégration...) se scinde en deux en cas de passage de la coopération à la compétition), tout en laissant les deux codes logiciels produits en concurrence accessibles pour les deux groupes de développeurs. Par extension, la coopétition s'applique dans tout contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...) de gestion de la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en...) socio-professionnelle, car le principe de base est que l'information prend de la valeur lorsqu'elle est partagée, et que justement, c'est en étant émetteur d'information stratégiques qu'on prend une position dominante dans un groupe de compétiteurs, face à divers clients potentiels.

Jeux de stratégie à somme nulle et non nulle

  • Les jeux à somme nulle sont tous les jeux où la somme « algébrique » des gains des joueurs est nulle. Ce que gagne l’un est nécessairement perdu par un autre, l'enjeu est la répartition du total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le...) fixé, qu'on peut supposer réparti à l'avance, ce qui ramène au cas où les gains sont vraiment nuls (d'où la dénomination). Les échecs ou le poker sont des jeux à somme nulle car les gains de l’un sont très exactement les pertes de l’autre.
  • Les situations d’affaires, la vie (La vie est le nom donné :) politique ou le dilemme du prisonnier sont des jeux à somme non-nulle car certaines issues sont globalement plus profitables pour tous, ou plus dommageables pour tous. On a commencé historiquement par étudier les jeux à somme nulle, plus simples. Au-delà de la matière-énergie avec la loi de la conservation de la somme algébrique nulle, le jeu à somme non-nulle est concevable, dans lequel le gain de l'un peut profiter à l'autre. Tel est le cas avec l'information, la communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter-...) et l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences, d'attitudes ou de valeurs culturelles, par l'observation, l'imitation, l'essai, la...) où l'information est une des trois composantes fondamentales avec la matière et l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.). L'exemple illustratif le plus simple est l'information génétique (La génétique (du grec genno γεννώ = donner naissance) est la science qui étudie l'hérédité et les gènes.) de l'ADN transcrite sur l'ARN pour être « lue », « traduite » et organiser la matière et l'énergie biologiques. En sciences sociales, on cite parfois l'idéologie d'harmonie industrielle du Japon moderne (coalition tripartite capital-travail-gouvernement) comme exemple de jeu à somme non nulle. Dans le commerce international, l'exemple de ce jeu à somme non nulle est la concurrence coopérative des Tigres asiatiques et Dragons asiatiques où le gain de l'un profite aux autres, dans la foulée du miracle économique japonais des années 1950-1960 qui a ouvert les portes à la Corée, à Hong Kong (Devise nationale : Sapientia et Virtus), à Singapour, à Taïwan (Taïwan ou Taiwan (en sinogrammes traditionnels 臺灣 et plus souvent en sinogrammes traditionnels 台灣 ; en sinogrammes...) et au Viêt Nam, dans une coévolution technico-commerciale.
  • En écologie, la coévolution est un autre exemple, dans la nature, de la somme non nulle où le changement de l'un facilite et fait la promotion du changement de l'autre.

On pourrait croire qu'il suffirait pour ramener un jeu à somme non-nulle à un jeu à somme nulle d'y ajouter un joueur simplet, le « tableau », sorte de non-player character qui compenserait les pertes nettes des joueurs. Ce n’est pas le cas : un joueur est censé défendre rationnellement ses intérêts dans la mesure de ses possibilités; cet ajout formel, introduisant une dissymétrie entre les « vrais » joueurs et le « tableau », complique l'analyse et celle-ci y perd plus qu’elle n’y gagne.

Jeu synchrone ou asynchrone

Dans un jeu synchrone, les joueurs décident de leur coup simultanément, sans savoir ce que les autres jouent. Dans un jeu asynchrone (ou alternatif, à deux joueurs), ils jouent les uns après les autres, en disposant à chaque fois de l’information sur le coup de l’adversaire. Une analyse des stratégies gagnantes est proposée pour le hex, un jeu de cette nature.

Jeux répétés

La répétition d’un jeu, avec connaissance des résultats intermédiaires, change souvent fondamentalement son déroulement (les meilleurs coups et la conclusion).

Par exemple, il peut être utile de prendre ponctuellement le risque de perdre « pour voir », tester les autres joueurs, et mettre en place des stratégies de communication par les coups joués (à défaut d’autre moyen de communication).

Il se développe également des phénomènes de réputation qui vont influencer les choix stratégiques des autres joueurs. Dans le dilemme du prisonnier, le fait de savoir qu’on va jouer plusieurs fois avec un dur qui n’avoue jamais mais se venge cruellement, ou avec un lâche qui avoue toujours, change radicalement la stratégie optimale.

Enfin, curieusement, le fait que le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) total de parties soit connu à l’avance ou non peut avoir des effet importants sur le résultat, l’ignorance du nombre de coups rapprochant du jeu avec un nombre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...) de coup, alors que sa connaissance rapproche au contraire du jeu à un seul coup (et ce, aussi grand que soit le nombre de coups !)

Information complète, information parfaite

On dit qu'un jeu est à information complète si chaque joueur connaît lors de la prise de décision :

  • ses possibilités d'action
  • les possibilités d'action des autres joueurs
  • les gains résultants de ces actions
  • les motivations des autres joueurs

Par ailleurs on parle de jeu à information parfaite dans le cas de jeu à mécanisme séquentiel, où chaque joueur a connaissance en détail de toutes les actions effectuées avant son choix.

Les échecs sont à information complète et parfaite. Du fait de l'incertitude sur les gains (cartes de l'adversaire cachées), le poker est à information incomplète. La phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) d'enchères vérifie les propriétés d'information parfaite, mais en assimilant le tirage des cartes à l'action d'un joueur fictif (souvent appelé Nature), la théorie des jeux exclut en général le poker des jeux à information parfaite.

Les situations réelles sont rarement en information complète, et ce cas ne sert souvent qu’aux approximations confiantes.

Les jeux en information incomplète sont des situations stratégiques où l'une des conditions n'est pas vérifiée. Ce peut être par l'intervention du hasard au cours du jeu (cas fréquent dans les jeux de société), ou parce qu'une des motivations d'un acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pièce de théâtre, à la télévision, à la radio, ou même dans des spectacles...) est cachée (domaine important pour l'application de la théorie des jeux à l'économie).

Les jeux en information à la fois imparfaite et incomplète sont de loin les plus complexes. Dans ces jeux certains joueurs peuvent disposer d'informations propres sur la manière dont le hasard va intervenir dans l'issue du jeu (une meilleure connaissance des probabilités d'occurrence de tel ou tel événement qui va affecter le cours du jeu, par exemple). Les jeux de guerre (war games) relèvent typiquement de cette catégorie, l'aléa sur la réussite d'un engagement entre corps de troupes dépendant d'informations non partagées par les adversaires sur les rapports de force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) entre ces troupes.

Pour être complet, il convient aussi de distinguer les jeux à mémoire parfaite et à mémoire imparfaite. Les jeux à mémoire « parfaite » sont des situations où chaque joueur peut se rappeler à tout moment de la suite de coups qui ont été joués précédemment, au besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes...) en notant au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la...) et à mesure les coups joués. Les jeux à mémoire « imparfaite » supposent une sorte d'amnésie (L'amnésie est la perte partielle ou totale de la mémoire.) de la part des joueurs. Les jeux de guerre sont des exemples de jeux à mémoire imparfaite si les commandements de zones opérationnelles ne parviennent pas à communiquer entre eux ou avec l'État-Major et donc n'ont pas trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à...) des mouvements déjà effectués par les troupes amies lorsqu'elles doivent décider de leurs propres mouvements. Un jeu typique est le 21 ou blackjack : la convention selon laquelle la suite de paquets de cartes n’est pas battue entre deux jeux peut donner un léger avantage au joueur dès lors que celui-ci prend en compte cette information partielle.

Jeux déterminés

Les jeux de Nim forment un cas particulier de jeu à somme nulle, sans intervention du hasard et dans la plupart des cas à nombre de situations finies. Dans leur cas particulier, la théorie des graphes fournit un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande rentabilisation de ces...) plus utile que la théorie des jeux à proprement parler. La notion de noyau du jeu (ensemble des nœuds depuis lesquels la victoire est assurée si l’on y parvient en cours de jeu et qu’on joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) de façon optimale ensuite) y est caractérisée.

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