Théorie des probabilités - Définition

Convergence de variables aléatoires

En théorie des probabilités, il y a plusieurs notions de convergence pour les variables aléatoires. En voici une liste:

Convergence en loi: une suite de variables aléatoires converge en loi vers la variable aléatoire si et seulement si la suite des mesures images converge étroitement vers la mesure image μ_X. En particulier dans le cas réel, il faut et il suffit que les fonctions de répartition convergent simplement vers la fonction de répartition de X en tout point de continuité de cette dernière.

Convergence en probabilité: converge en probabilité vers ssi , . Cette convergence implique la convergence en loi.

Convergence presque sûre: converge presque sûrement vers ssi . Elle implique la convergence en probabilité, donc la convergence en loi.

Convergence dans : converge dans vers ssi . Elle implique aussi la convergence en probabilité.

Lois de probabilité

Certaines variables aléatoires sont fréquemment rencontrées en théorie des probabilités car on les retrouve dans de nombreux processus naturels ; leur loi a donc une importance particulière. Les lois discrètes les plus fréquentes sont la loi uniforme discrète, la loi de Bernoulli, ainsi que les lois binomiale, de Poisson et géométrique. Les lois uniforme continue, normale, exponentielle et gamma sont parmi les plus importantes lois continues.

Le calcul stochastique

Un processus stochastique est un processus aléatoire qui dépend du temps. Un processus stochastique est donc une fonction de deux variables : le temps et la réalisation ω d'une certaine expérience aléatoire. Quelques exemples d'utilisation des processus stochastiques incluent le mouvement brownien, les fluctuations du marché boursier, ou la reconnaissance vocale. En temps discret, ces processus sont aussi connus sous le nom de Séries temporelles et servent entre autres en économétrie.

Parmi les processus stochastiques, les chaînes de Markov constituent l'exemple le plus simple et sans doute celui qui a le plus d'applications pratiques.

Chaîne de Markov

Une chaîne de Markov est un processus stochastique possédant la propriété markovienne. Dans un tel processus, la prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du passé. Il suffit alors de connaître l'état de la chaîne à un instant t pour savoir comme elle évoluera au temps t+1, il n'est pas nécessaire de connaître tout le passé entre 0 et t pour prévoir l'évolution de la chaîne.

Une chaîne en temps discret est une séquence X₁, X₂, X₃, ... de variables aléatoires. La valeur X_n étant l'état du processus au moment n. Si la distribution de probabilité conditionnelle de X_n+1 sur les états passés est une fonction de X_n seulement, alors de façon mathématique:

où x est un état quelconque du processus, est la probabilité d'avoir A quand on sait que l'on a B par exemple ici la probabilité d'avoir une certaine valeur pour X_{n + 1} quand on connaît la valeur de X_n. L'identité ci-dessus est la propriété de Markov pour le cas particulier d'une chaîne en temps discret. La probabilité P(X_{n + 1} = x | X_n = y) est appelée la probabilité de transition de x à y ; c'est la probabilité d'aller de x à y au temps n et a une importance particulière pour l'étude de ces chaînes. Nous considérons ici uniquement des chaînes de Markov en temps discret mais il faut savoir qu'il existe une généralisation en temps continu.

Cette propriété de Markov s'oppose à la notion d'hystérésis où l'état actuel dépend de l'histoire et non seulement de l'état actuel. Ces chaînes de Markov ou des modèles de Markov cachés interviennent dans l'étude de la marche aléatoire et ont de nombreux champs d'application: filtre anti-spam, mouvement brownien, hypothèse ergodique, théorie de l'information, reconnaissance des formes, algorithme de Viterbi utilisé en téléphonie mobile, etc...

Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau  ; 10 000 pas.

Citons entre autres comme cas particuliers de chaînes de Markov la marche aléatoire qui sert en particulier à l'étude de la diffusion ou du jeu de pile ou face. Une marche aléatoire est une chaîne de Markov où la probabilité de transition ne dépend que de x-y. Autrement dit une chaîne de Markov où l'on a: P(X_{n + 1} = x | X_n = y) = f(x − y).

Un jeu de pile ou face où l'on jouerait 1 à chaque lancer est un exemple de marche aléatoire. Si on a y après n lancers, P(X_{n + 1} = x | X_n = y) = 1 / 2 si (x-y)=+1 ou -1 et 0 sinon. (on a une chance sur deux de gagner 1 et une chance sur deux de perdre 1)

Équations différentielles stochastiques

Les équations différentielles stochastiques sont une forme d'équation différentielle incluant un terme de bruit blanc. Ces équations différentielles stochastiques remplacent les équations différentielles ordinaires lorsque l'aléatoire entre en jeu. Au premier ordre par exemple:

Pour faire une analogie avec la physique, μ(X(t)) est la vitesse moyenne au point X(t) et σ est lié au coefficient de diffusion (voir à ce propos l'exemple donné dans lemme d'Itô). Le lemme d'Itô et l'intégrale d'Itô permettent alors de passer de ces équations stochastiques à des équations aux dérivées partielles classiques ou à des équations intégrales. Par exemple en utilisant le lemme d'Itô on obtient pour la probabilité de se trouver à l'instant t au point x:

Ce lemme est particulièrement important car il permet de faire le lien entre l'étude d'équations stochastiques et les équations aux dérivées partielles qui relèvent de l'analyse. Ce lemme permet entre autres d'obtenir les équation de Fokker-Planck en physique et de traiter le mouvement brownien par des équations aux dérivées partielles classiques ou de modéliser les cours de la bourse en Mathématiques financières.