Trou noir de Kerr - Définition et Explications

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Introduction

En astrophysique, un trou noir de Kerr désigne un trou noir en rotation et de charge électrique nulle. Il est décrit dans le cadre de la relativité générale par la métrique de Kerr, qui ne dépend que de la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) M et du moment angulaire (En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle...) J.

Description

Fig. 1 — Horizon des événements (L'horizon des événements est constitué par la région de l'espace-temps dans laquelle un...) et ergosphère d'un trou noir (En astrophysique, un trou noir est un objet massif dont le champ gravitationnel est si intense...) en rotation. Les particules passant à l'intérieur de l'ergosphère peuvent, dans certaines conditions, gagner de l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie...) au détriment du trou noir puis s'en échapper. Ce dernier perd alors du moment angulaire.

Contrairement au cas du trou noir sans rotation et sans charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de...) (appelé trou noir de Schwarzschild), le trou noir de Kerr (En astrophysique, un trou noir de Kerr désigne un trou noir en rotation et de charge...) possède une ergosphère en plus de son horizon (Conceptuellement, l’horizon est la limite de ce que l'on peut observer, du fait de sa propre...) des événements. Alors que ce dernier est décrit par une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) de rayon rh, l'ergosphère est un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois...) de révolution (oblate) dont le petit axe (Le plus petit diamètre d'une ellipse est son petit axe. Il traverse l'ellipse à mi-chemin entre...) est aligné avec l'axe de rotation du trou noir et de même taille que rh, et le grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour décrire la dimension de...) de taille rstat (Les protéines STAT, pour Signal Transducers and Activators of Transcription en anglais, sont...) est situé dans le plan équatorial. De plus, r_\mathrm{stat} \ge r_h. (voir la Fig. 1).

Horizon (Conceptuellement, l’horizon est la limite de ce que l'on peut observer, du fait de sa propre...) des événements

La présence de l'horizon des événements ne dépend pas de la rotation du trou noir, c'est une caractéristique commune à tous les types de trous noirs qui représente finalement l'essence même de ce qu'est un trou noir. Les particules qui franchissent l'horizon des événements tombent définitivement dans le trou noir (Le Trou noir (The Black Hole) est un film de science-fiction réalisé par Gary Nelson,...) sans possibilité de s'en échapper.

Dans le cas d'un trou noir de Kerr, le rayon de l'horizon des événements s'écrit :

r_{h} = \frac{r_\mathrm{Sh}}{2} \left[ 1 + \sqrt{1-\left(\frac{Jc}{GM^2}\right)^2} \right],

G est la constante gravitationnelle, c est la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...), rSh est le rayon de Schwarzschild (Le rayon de Schwarzschild est défini comme le rayon critique prévu par la géométrie de...). La valeur du rayon de l'horizon du trou noir de Kerr est donc comprise entre la moitié du rayon de Schwarzschild (quand le moment angulaire est maximale, J = Mc) et ledit rayon (moment angulaire nul, J = 0, cas du trou noir de Schwarzschild).

Ergosphère

L'ergosphère est dite limite statique en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) que les particules qui la franchissent sont obligatoirement entraînées dans le sens de rotation du trou noir, autrement dit, elles y possèdent un moment angulaire de même signe que J. Cet entraînement confère du moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) et de l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) à une particule qui pénètre dans l'ergosphère puis s'en échappe, de sorte que le trou noir voit son moment cinétique diminuer. C'est l'effet Penrose qui permet de pomper de l'énergie à un trou noir en rotation.

L'ergosphère est décrite par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) polaire :

r = \frac{r_\mathrm{S}}{2} \left[ 1 + \sqrt{1-\left(\frac{Jc}{GM^2}\cos\theta\right)^2} \right]

où, toutes notations égales par ailleurs,θ désigne l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) par rapport à l'axe de rotation. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution de petit axe rh et de grand axe rstat = rSh.

Métrique de Kerr

La métrique de Kerr s'écrit généralement dans les coordonnées de Boyer-Lindquist. En posant, G = c = 1, elle est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par :

\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2Mr}{\rho^{2}}\right)\mathrm{d}t^2 -\frac{4aMr\sin^2\theta}{\rho^{2}}\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi +\frac{\rho^{2}}{\Delta}\mathrm{d}r^2 + \rho^{2} \mathrm{d}\theta^2 + \left(r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta} {\rho^{2}}\right) \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2,

avec :

\!\ \Delta\equiv r^2-2Mr+a^2,
\!\ \rho^{2}\equiv r^2+a^2\cos^2\theta,
\!\ a\equiv J/M.

t\in\mathbb R est la coordonnée temporelle, r\in\mathbb{R}^+ est la coordonnée radiale, \theta\in\left[0, \pi\right] est la colatitude, \phi\in\left[0, 2\pi\right] est la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre...).
Les points θ = 0 et θ = π sont les pôles et les points \theta=\frac{\pi}{2} forment l'équateur. La droite joignant les pôles est l'axe de rotation du trou noir.
Le système de coordonnées est indéfinie aux pôles. En effet, lorsque t = cste et r = cste, le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) gφφ s'annule pour θ = 0 et θ = π.
De plus, les coordonnées sont invalides lorsque Δ = 0 où le coefficient grr diverge. Les coefficients de la métrique (exprimée dans les coordonnées de Boyer-Lindquist) sont indépendants de t et θ. Par conséquent, la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) est indépendante du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) (c'est-à-dire stationnaire) et à symétrie axiale.
Autrement dit, la métrique de Kerr possède les vecteurs de Killing : \xi_{\left(t\right)} \equiv \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{r,\theta,\phi} \xi_{\left(\phi\right)} \equiv \left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)_{t, r,\theta}

Les composantes de la métrique de Kerr exprimées avec les coordonnées de Boyer-Lindquist sont remarquables car elles sont égales au produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) des coordonnées indépendantes :

\xi_{\left(t\right)}.\xi_{\left(t\right)} = g_{tt}
\xi_{\left(t\right)}.\xi_{\left(\phi\right)} = g_{t\phi}
\xi_{\left(\phi\right)}.\xi_{\left(\phi\right)} = g_{\phi\phi}

Notons que si le moment angulaire par unité de masse est nul, a = 0 (donc J = 0), on obtient la métrique de Schwarzschild (En astrophysique, et plus précisement dans le cadre de la Relativité générale, la métrique de...). Si on ajoute la contrainte, M = 0, on obtient l'espace de Minkowski (Un espace de Minkowski, du nom de son inventeur Hermann Minkowski, est un espace affine...).

Il arrive que la métrique soit exprimée dans les coordonnées de Kerr où \tilde{\phi} est la coordonnée de rotation du trou noir.

\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2Mr}{\rho^{2}}\right)\mathrm{d}\tilde{V}^2 -\frac{4aMr\sin^2\theta}{\rho^{2}}\mathrm{d}\tilde{\phi}\mathrm{d}\tilde{V} + \rho^{2} \mathrm{d}\theta^2 + \left(r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta} {\rho^{2}}\right) \sin^2\theta \mathrm{d}\tilde{\phi}^2 + 2\mathrm{d}r\mathrm{d}\tilde{V} - 2a\sin^2\theta\mathrm{d}\tilde{\theta}\mathrm{d}r

Dans ce cas, les coefficients sont indépendants de \tilde{V} et \tilde{\phi}. Les relations qui relient les deux systèmes de coordonnées sont :

\mathrm{d}\tilde{V}=\mathrm{d}t + \frac{\left(r^2+a^2\right)}{\Delta}\mathrm{d}r,
\mathrm{d}\tilde{\phi}=\mathrm{d}\tilde{\theta} + \frac{a}{\Delta}\mathrm{d}r.

Il existe trois types différents d'espace-temps de Kerr suivant l'importance respective de M et a. Autrement dit, suivant la vitesse (On distingue :) du moment angulaire J.

  • L'espace-temps de Kerr lent (Slow Kerr space-time). 0<\left|a\right|<M. La rotation est lente (La Lente est une rivière de la Toscane.) ( \left|J\right|<1 ).

Δ possède alors deux racines réelles.

r_{-}=M-\sqrt{M^{2}-a^{2}}
r_{+}=M+\sqrt{M^{2}-a^{2}}

C'est la version de l'espace-temps de Kerr la plus souvent étudiée. L'espace-temps possède deux horizons, les sphères de rayon r = r et r = r + diposées symétriquement à la sphère de rayon r = M. Le lieu géométrique où r = r + est appelé indifféremment l'horizon externe ou l'horizon des événements. Concernant r = r , on le nomme horizon interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) ou horizon de Cauchy. Les deux horizons séparent l'espace-temps en trois parties distinctes nommées Boyer-Lindquist Blocks:

  1. Block 1 : \left\{r>r_{+}\right\}.

C'est la région extérieure au trou noir. L'ergosphère appartient à ce block. La limite statique est l'hypersurface (En géométrie différentielle, une hypersurface est une généralisation en dimension supérieure...) définie par la racine supérieure de l'équation : ρ2 = 2Mr, où le coefficient gtt s'annule. Si on définit l'ergosphère par la coordonnée radiale r :

E=\left\{r_{+}<r<M+\sqrt{M^{2}-a^{2}cos^{2}\theta}\right\}.

Cette équation permet de retrouver quelques résultats prévisibles :
La limite statique coïncide avec l'horizon des événements aux pôles.
L'extension radiale de l'ergosphère est maximum à l'équateur du trou noir (Voir Fig. 1).
La limite statique se rapproche de plus en plus de l'horizon des événements à mesure que le moment angulaire par unité de masse diminue.
Si un observateur franchit l'ergosphère, il lui est physiquement impossible de rester au repos par rapport à un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) extérieur au trou noir. De plus, tous les observateurs possédant une coordonnée radiale et un colatitude fixes se situant dans cette région de l'espace-temps de Kerr doivent décrire des orbites dans le même sens de rotation que le trou noir.

Si r = cste et θ = cste, \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}>\frac{a\sin\theta-\sqrt{\Delta}}{\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin\theta-a\sqrt{\Delta}\sin^{2}\theta}\geq0 lorsque r \in E et a > 0.

  1. Block 2 : \left\{r_{-}<r<r_{+}\right\}.

C'est la région située sous l'horizon externe. De la même manière que pour l'horizon de Schwarzschild caractérisant un trou noir sans rotation, aucun objet ne peut émerger de l'horizon des événements.

  1. Block 3 : \left\{r<r_{-}\right\}.

C'est la région de l'espace-temps située sous l'horizon interne contenant la singularité (D'une manière générale, le mot singularité décrit le caractère singulier de quelque chose ou...) annulaire source de la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.).

  • L'espace-temps de Kerr extrême (Extreme Kerr space-time). \left|a\right|=M. La rotation est critique ( \left|J\right|=1 ).

M est la racine double de Δ et la sphère de rayon r = M est l'horizon unique. Si on reprend les formules précédentes, on trouve que l'ergosphère est la région :

E=\left\{r_{-}=r_{+}=M<r<M\left(1+\sin\theta\right)\right\}.

La métrique décrit un objet en rotation qui cesse d'être un trou noir, mais n'est pas à la vitesse de rupture. La vitesse de rotation du trou noir est égale à la vitesse de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...). Comme l'explique Jean-Pierre Luminet : "En language newtonien, on dirait qu'à la surface d'un trou noir maximal les forces de répulsion centrifuges compensent exactement les forces d'attraction gravitationnelles."

  • L'espace-temps de Kerr rapide (Fast Kerr space-time). \left|a\right|>M. La rotation est rapide ( \left|J\right|>1 ).

Δ ne possède aucune racine réelle et l'espace-temps n'a pas d'horizon. Dans ce cas de figure, il n'y a pas de trou noir et on parle alors de singularité nue. L'intérêt de cette solution particulière est plutôt limité puisque Werner Israel a demontré dans les années 80 que toutes interactions d'un trou noir tournant à sa fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) maximale ( \left|J\right|=1 ) tend a ralentir son moment angulaire. Il semblerait donc qu'il n'existe aucun moyen physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) de "construire" un espace-temps de Kerr rapide. C'est l'idée formulée initialement par Roger Penrose appelée conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que...) de la "Censure cosmique".

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