Balancelle
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Une demoiselle se balançait... ainsi commence une célèbre chanson d'Yves Montand.

Comment fait-elle? Le problème sera grossièrement schématisé pour faire ressortir les traits essentiels.

Soit un pendule simple, dont la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution...), m , via un mécanisme interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le...) à elle-même, peut s'élever ou descendre à son gré le long de la barre (sans masse) (c'est en quelque sorte une toute petite guernazelle). La longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur...) du pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault qui est le plus...) est variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...) (voir pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan vertical. Le point matériel en G, de masse m,...) de longueur variable).

En travaillant adroitement, le petit ciron accroît régulièrement l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) du mouvement : c'est le principe de la balancelle (Une demoiselle se balançait... ainsi commence une célèbre chanson d'Yves Montand.), cas très simple d'une résonance (Lorsqu'on abandonne un système stable préalablement écarté de sa position d'équilibre, il y retourne, généralement à travers des oscillations propres. Celles-ci se produisent à la fréquence propre...) pseudo-paramétrique (voir pendule simple à résonance paramétrique).

Amplification (On parle d'amplificateur de force pour tout une palette de systèmes qui amplifient les efforts : mécanique, hydraulique, pneumatique, électrique.)

Prenons le cas le plus simple d'amplification :

Le ciron est pendant le premier quart du mouvement pendulaire (Se dit d'un ULM ou d'un PULMA qui se pilote par déplacement du centre de gravité.), sur le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable,...) de rayon l = a+h. Parti de M1 (d'élongation maximum, d'altiude z1), il atteint le point (Graphie) le plus bas B (altitude z=0) au quart de période T/4 .f(θ1).

Alors, brusquement, il développe une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) infinie pendant un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) infiniment court, produisant un travail FINI, W, qui lui permet de grimper verticalement de B en H (d'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et...) z = h).

Il se laisse balancer sur le deuxième quart du mouvemnt pendulaire,sur le cercle de rayon OH = a, parcourant l'arc de cercle HN2, en un temps T'/4 .f(θ2).

Au point N2, il est immobile. Il se laisse alors instantanément glisser le long de la barre au point M2 (d'altitude z2).

Il est prêt alors pour effectuer le retour selon le même principe trajet : arc M2B,BH,arc HN3,N3M3): 'est une sorte de figure de réel écossais, en forme de huit ("carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même...)") allongé non fermé.

Le gain d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) est évidemment essentiellement dû à l'effet fronde du raccourcissement du rayon de a+h à a, dans le passage de B à H (pour plus, voir discussion).

Appliquer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) de l'énergie-puissance à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) du théorème du moment cinétique : dL/dt = -mgl sin θ,en multipliant par L et en intégrant :

 
 (1 − cosθn + 1)a3 = (1 − cosθn)(a + h)3, soit: 
 
 
 z_1 \cdot{(a+h)^3} = z_2 \cdot{a^3} 
 

Son altitude z = (a+h)(1-cosθ) ne cesse d'augmenter (à chaque aller-retour, d'un facteur (1+h/a)^6): lorsqu'elle dépasse 2(a+h); il passe en régime de tournoiement, que nous traiterons ultérieurement.

Analyse énergétique

Il est clair que le ciron a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de...) l'énergie qui l'élève : W = mg (z2-z1).

Démonstration :

Le ciron a une énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie...) constante de M1 à B (point le plus bas) : mgz1. En ce point, il développe une puissance infinie pour se déplacer sur la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) de A en A' : à ce moment, le moment de la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné tous les corps libres tombent en direction du...) est nul, ni bien sûr celui de la réaction en O, donc le moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.), L, SE CONSERVE, donc la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) augmente brutalement : c'est l'effet fronde

ω2a2 = ω1(a + h)2

La conservation de l'énergie ensuite donne : \omega_2^2 a = g(1-cos \theta_2 ) , et donc :

 
 z_1 \cdot{(a+h)^3} = z_2 \cdot{a^3} 
 

C'est bien le raisonnement précédent.

Soit à évaluer le travail total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple :...) du ciron W : considérer le cycle BHN2M2B.

Le travail de la pesanteur est nul, puisque la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) mg est conservative.

Le seul moment où le ciron travaille est sur le segment BH, et sur le segment N2M2.

A part l'énergie de pesanteur récupérée (W1 = -mgh cos(theta2)), le ciron ne fournit aucun travail de N2 en M2.

Par contre de B en H ,le moment cinétique est conservé L1 = L2 = L et l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail...) augmente prodigieusement vite d'une valeur finie (à puissance infinie) de Ec1(B) = L²/2m(a+h)² à Ec'2(H) = L²/2m(a)²; soit une augmentation de Ec1(B) = mg.(a+h).(1-cosθ1 )à Ec'2(H) = mg.a.(1 - cosθ2) ; soit W2 = Ec'2(H)-Ec1(B) ; et de plus le ciron fournit W3 = mgh.

Donc au total, W = W1 + W2 + W3 = mgh (1 − cosθ2) +Ec'2(H)-Ec1(B) = mg(z2z1),

fin de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...).

Pour dire bref, l'effet fronde s'effectue à moment cinétique L= cste ; donc la vitesse (On distingue :) angulaire ω augmente comme ~1/l², donc ω2l comme 1/l³; or ω2l2 comme z: d'où le résultat.

  • Raisonnement dans le référentiel lié à la barre (dont la vitesse angulaire subit une discontinuité que nous supposerons "régularisée"): le travail des forces intérieures ne dépendant pas du référentiel, on doit retrouver le même travail W pour le ciron :

Ec2relatif(B)-Ec1relatif(B)=0 = W +W(pesanteur) nul + W(coriolis) nul + Wer(force d'Entraînement Radial,axifuge) + Weo (force d'entraînement orthoradial).

En procédant toujours sur le même parcours que précédemment, le tavail Wer sur l'arc HN2 et sur l'arc M2B est nul (orthogonalité de la force et du déplacement), et aussi sur l'arc N2M2, mgh cos (theta2) car la force radiale y est mg cos(theta2). Sur l'arc BH, le travail Wer est négatif et énorme : à L =cste, nous avons déjà vu qu'il valait Ec1(B)-E'c2(H)(et il convient d'y rajouter -mgh car la force centrifuge doit compter avec le poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de...).

Le travail Weo est nul puisque la force ne se déplace qu'orthogonalement.

On retrouve bien le résultat précédent.

Cas plus général

Nous avons pris ce parcours en huit "carré", mais il est bien évident que, en reprenant les résultats précédents, l'énergie sera augmentée chaque fois que l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) \int l(\theta)^3 sin\theta d\theta prise sur un aller re-tour sera positive (soit une sorte de huit (figure de reel en danse écossaise) décrit dans le même sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) que le "huit carré" précédent).

Il est clair que si le "huit" est décrit en sens contraire, le ciron récupère l'énergie de la balançoire (La balançoire est un loisir pour les enfants, généralement de plein air, qui consiste à se balancer sur une planche accrochée à un portique.) et amortit le mouvement.

Synchronisation à adapter

Il faut bien remarquer que cette amplification a lieu de manière non isochrone (Isochrone signifie « qui se produit à intervalles de temps égaux ». Les oscillations d'un pendule ou d'un balancier-spirale sont isochrones...): souvent, quand l'amplitude devient proche de 180°, on voit les cirons qui manœuvrent mal; encore une fois c'est l(theta) qui compte et non l(t) dans ce type d'amplification. En ce sens, il y a différence avec l'amplification paramétrique de Mathieu-Hill.

Enfin, rien n'empêche de continuer ce mécanisme quand on est en régime de tournoiement : il faut simplement que le ciron, à la verticale se projette immédiatement à la distance (a+h) ; il décrira alors de plus en plus vite la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) (formée de deux demi-cercles de raton R et R+h, joints par des segments verticaux de longueur h).

Le mécanisme inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) permet de ne plus tournoyer et de stabiliser peu à peu son attitude.

Cas de perte d'énergie par frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.)

Il est clair que si l'énergie perdue par frottement (soit fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides...) , soit solide) égale W, la demoiselle se balancera à amplitude constante : un enfant adopte cet asservissement (L'asservissement est une partie de l'automatique. L'objet principal de l'asservissement est d'élaborer la commande d'un procédé afin de lui faire...) quand ses parents jugent l'amplitude de son mouvement suffisante.

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