Balancelle - Définition

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Une demoiselle se balançait... ainsi commence une célèbre chanson d'Yves Montand.

Comment fait-elle? Le problème sera grossièrement schématisé pour faire ressortir les traits essentiels.

Soit un pendule simple, dont la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...), m , via un mécanisme interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) à elle-même, peut s'élever ou descendre à son gré le long de la barre (sans masse) (c'est en quelque sorte une toute petite guernazelle). La longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) du pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine...) est variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) (voir pendule simple (En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité...) de longueur variable).

En travaillant adroitement, le petit ciron accroît régulièrement l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) du mouvement : c'est le principe de la balancelle (Une demoiselle se balançait... ainsi commence une célèbre chanson d'Yves Montand.), cas très simple d'une résonance (La résonance est un phénomène selon lequel certains systèmes physiques...) pseudo-paramétrique (voir pendule simple à résonance paramétrique).

Amplification (On parle d'amplificateur de force pour tout une palette de systèmes qui amplifient les...)

Prenons le cas le plus simple d'amplification :

Le ciron est pendant le premier quart du mouvement pendulaire (Se dit d'un ULM ou d'un PULMA qui se pilote par déplacement du centre de gravité.), sur le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) de rayon l = a+h. Parti de M1 (d'élongation maximum, d'altiude z1), il atteint le point (Graphie) le plus bas B (altitude z=0) au quart de période T/4 .f(θ1).

Alors, brusquement, il développe une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) infinie pendant un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) infiniment court, produisant un travail FINI, W, qui lui permet de grimper verticalement de B en H (d'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau...) z = h).

Il se laisse balancer sur le deuxième quart du mouvemnt pendulaire,sur le cercle de rayon OH = a, parcourant l'arc de cercle HN2, en un temps T'/4 .f(θ2).

Au point N2, il est immobile. Il se laisse alors instantanément glisser le long de la barre au point M2 (d'altitude z2).

Il est prêt alors pour effectuer le retour selon le même principe trajet : arc M2B,BH,arc HN3,N3M3): 'est une sorte de figure de réel écossais, en forme de huit ("carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...)") allongé non fermé.

Le gain d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) est évidemment essentiellement dû à l'effet fronde du raccourcissement du rayon de a+h à a, dans le passage de B à H (pour plus, voir discussion).

Appliquer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de l'énergie-puissance à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) du théorème du moment cinétique : dL/dt = -mgl sin θ,en multipliant par L et en intégrant :

(1 − cosθn + 1)a3 = (1 − cosθn)(a + h)3, soit:
z_1 \cdot{(a+h)^3} = z_2 \cdot{a^3}

Son altitude z = (a+h)(1-cosθ) ne cesse d'augmenter (à chaque aller-retour, d'un facteur (1+h/a)^6): lorsqu'elle dépasse 2(a+h); il passe en régime de tournoiement, que nous traiterons ultérieurement.

Analyse énergétique

Il est clair que le ciron a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι...) l'énergie qui l'élève : W = mg (z2-z1).

Démonstration :

Le ciron a une énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie...) constante de M1 à B (point le plus bas) : mgz1. En ce point, il développe une puissance infinie pour se déplacer sur la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le...) de A en A' : à ce moment, le moment de la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous...) est nul, ni bien sûr celui de la réaction en O, donc le moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.), L, SE CONSERVE, donc la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée...) augmente brutalement : c'est l'effet fronde

ω2a2 = ω1(a + h)2

La conservation de l'énergie ensuite donne : \omega_2^2 a = g(1-cos \theta_2 ) , et donc :

z_1 \cdot{(a+h)^3} = z_2 \cdot{a^3}

C'est bien le raisonnement précédent.

Soit à évaluer le travail total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) du ciron W : considérer le cycle BHN2M2B.

Le travail de la pesanteur est nul, puisque la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) mg est conservative.

Le seul moment où le ciron travaille est sur le segment BH, et sur le segment N2M2.

A part l'énergie de pesanteur récupérée (W1 = -mgh cos(theta2)), le ciron ne fournit aucun travail de N2 en M2.

Par contre de B en H ,le moment cinétique est conservé L1 = L2 = L et l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) augmente prodigieusement vite d'une valeur finie (à puissance infinie) de Ec1(B) = L²/2m(a+h)² à Ec'2(H) = L²/2m(a)²; soit une augmentation de Ec1(B) = mg.(a+h).(1-cosθ1 )à Ec'2(H) = mg.a.(1 - cosθ2) ; soit W2 = Ec'2(H)-Ec1(B) ; et de plus le ciron fournit W3 = mgh.

Donc au total, W = W1 + W2 + W3 = mgh (1 − cosθ2) +Ec'2(H)-Ec1(B) = mg(z2z1),

fin de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...).

Pour dire bref, l'effet fronde s'effectue à moment cinétique L= cste ; donc la vitesse (On distingue :) angulaire ω augmente comme ~1/l², donc ω2l comme 1/l³; or ω2l2 comme z: d'où le résultat.

  • Raisonnement dans le référentiel lié à la barre (dont la vitesse angulaire subit une discontinuité que nous supposerons "régularisée"): le travail des forces intérieures ne dépendant pas du référentiel, on doit retrouver le même travail W pour le ciron :

Ec2relatif(B)-Ec1relatif(B)=0 = W +W(pesanteur) nul + W(coriolis) nul + Wer(force d'Entraînement Radial,axifuge) + Weo (force d'entraînement orthoradial).

En procédant toujours sur le même parcours que précédemment, le tavail Wer sur l'arc HN2 et sur l'arc M2B est nul (orthogonalité de la force et du déplacement), et aussi sur l'arc N2M2, mgh cos (theta2) car la force radiale y est mg cos(theta2). Sur l'arc BH, le travail Wer est négatif et énorme : à L =cste, nous avons déjà vu qu'il valait Ec1(B)-E'c2(H)(et il convient d'y rajouter -mgh car la force centrifuge doit compter avec le poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...).

Le travail Weo est nul puisque la force ne se déplace qu'orthogonalement.

On retrouve bien le résultat précédent.

Cas plus général

Nous avons pris ce parcours en huit "carré", mais il est bien évident que, en reprenant les résultats précédents, l'énergie sera augmentée chaque fois que l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) \int l(\theta)^3 sin\theta d\theta prise sur un aller re-tour sera positive (soit une sorte de huit (figure de reel en danse écossaise) décrit dans le même sens que le "huit carré" précédent).

Il est clair que si le "huit" est décrit en sens contraire, le ciron récupère l'énergie de la balançoire (La balançoire est un loisir pour les enfants, généralement de plein air, qui consiste à se...) et amortit le mouvement.

Synchronisation à adapter

Il faut bien remarquer que cette amplification a lieu de manière non isochrone (Isochrone signifie « qui se produit à intervalles de temps égaux ». Les oscillations d'un...): souvent, quand l'amplitude devient proche de 180°, on voit les cirons qui manœuvrent mal; encore une fois c'est l(theta) qui compte et non l(t) dans ce type d'amplification. En ce sens, il y a différence avec l'amplification paramétrique de Mathieu-Hill.

Enfin, rien n'empêche de continuer ce mécanisme quand on est en régime de tournoiement : il faut simplement que le ciron, à la verticale se projette immédiatement à la distance (a+h) ; il décrira alors de plus en plus vite la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et...) (formée de deux demi-cercles de raton R et R+h, joints par des segments verticaux de longueur h).

Le mécanisme inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) permet de ne plus tournoyer et de stabiliser peu à peu son attitude.

Cas de perte d'énergie par frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre...)

Il est clair que si l'énergie perdue par frottement (soit fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) , soit solide) égale W, la demoiselle se balancera à amplitude constante : un enfant adopte cet asservissement (L'asservissement est une partie de l'automatique. L'objet principal de l'asservissement est...) quand ses parents jugent l'amplitude de son mouvement suffisante.

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