Torseur
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Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'il subit de la part d'un environnement extérieur.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Un torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'il subit de la part d'un environnement...) est un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de vecteurs équiprojectif, champ dont les vecteurs \overrightarrow{\mathcal{M}_P} en chaque point (Graphie) P s'appellent "moments" du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon :

 
 \overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{PO} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}} 
 

où le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) \overrightarrow{\mathcal{R}} (associé de façon unique à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) champ équiprojectif), s'appelle résultante du torseur. Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction" en un point quelconque P de l'espace, à savoir :

  • La résultante \overrightarrow{\mathcal{R}}. Ce vecteur est unique et indépendant du point de réduction.
  • Le moment en P du torseur, \overrightarrow{\mathcal{M}_P}.

La résultante est donc un vecteur caractéristique du champ qui permet, à partir du moment en un point particulier, de retrouver les autres moments. De ce fait, les torseurs forment parmi les champs de vecteurs un sous-espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) 6 (dans le cas de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...) de dimension 3).

On écrit alors :

\mathcal{T} =   \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}} \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_O} \end{Bmatrix}_O

ou, en projetant la résultante et le moment sur une base orthonormée \mathcal{B} :

\mathcal{T}=   \begin{Bmatrix} X && L \\ Y && M \\ Z && N \end{Bmatrix}_{O, \mathcal{B}}

où X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de ces coordonnées est appelé coordonnées pluckeriennes, du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...) allemand Julius Plücker.

Exemples

  • Le champ des moments d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf....) (ou de la somme de plusieurs forces) par rapport à un point est un torseur, dit torseur des actions mécaniques. La résultante du torseur est la somme des forces.
  • Le champ des vitesses d'un solide indéformable en un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) donné est un torseur, appelé torseur cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement...) du solide. La résultante est le vecteur instantané de rotation.
  • Soit A un point affecté d'une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la...) m et d'une vitesse (On distingue :) \vec V par rapport à un référentiel donné. Si l'on choisit un point P quelconque, on peut définir le torseur cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) de A en P par :

\overrightarrow{L(P)} = \overrightarrow {PA} \wedge m \overrightarrow{V}. Ce torseur s'appelle le torseur cinétique de A. Sa résultante est la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec...) m \overrightarrow{V} de A.

  • On définit de même le torseur dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) de A par le champ \overrightarrow{PA} \wedge m\overrightarrow{a}\overrightarrow{a} est l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une...) de A. Si une force s'applique sur le point A, le principe fondamental de la dynamique énonce qu'il y a identité entre le torseur des forces et le torseur dynamique dans un référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement de translation...) (mécanique des solides).
  • Le champ de moments nuls s'appelle le torseur nul. Il correspond à un champ de forces dans le cas statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :).
  • Un couple est un champ vectoriel uniforme, donc représenté par un torseur dont la résultante est nulle. Physiquement, il correspond à un torseur de forces dont la résultante est nulle.
  • Un glisseur est un torseur dont le champ des moments s'annule en au moins un point. Le torseur d'une force appliquée en un point est un glisseur, le moment étant nul sur la droite servant de support à la force. Le champ des vitesses d'un solide en rotation est un glisseur. La vitesse est nulle sur l'axe de rotation. Pour un glisseur, on peut utiliser la notation \mathcal {T}_{\vec R / O}\vec R désigne la résultante et O le point d'application où le moment est nul.
  • Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en...) du Principe d'Archimède :

Le torseur des forces de pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) est égal et opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés...) au torseur des forces de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) dans le fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu compressibles. Dans certaines conditions...) considéré.

Propriétés des torseurs

Equiprojectivité

Soit un torseur de résultante \overrightarrow R et de moment \overrightarrow{\mathcal M_O} en O. Son moment en P est \overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{OP}, de sorte que, en faisant le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou...) par \overrightarrow{OP}, on obtient :

(\overrightarrow{\mathcal M_P} | \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{\mathcal M_O}| \overrightarrow{OP})

Cette relation s'appelle propriété d'équiprojectivité du champ. On montre que cette propriété est caractérisque des champs de torseurs. Autrement dit, si un champ de vecteurs est équiprojectif, alors il s'agit du champ des moments d'un torseur. C'est d'ailleurs la façon la plus fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de définir un torseur.

L'équiprojectivité du champ des vitesses d'un solide indéformable est la propriété fondamentale décrivant le comportement cinématique de ces corps.

Cette relation est appelé aussi loi de transfert des moments puisque on obtient le moment du torseur dans le point P on utilisant celui de O tant que O et P appartient au même solide indéformable.

Axe d'un torseur

Considérons un torseur de résultante \overrightarrow R non nulle. Alors on montre que les points P tels que \overrightarrow{\mathcal M_P} soit colinéaire à \overrightarrow R forment une droite appelée axe central d'un torseur. Cet axe central existe et est unique pour tout torseur, sauf dans le cas particulier du couple, où la résultante est nulle. Dans le cas d'un glisseur, les moments sur l'axe central sont nuls.

Pour le torseur cinématique d'un solide (dont les moments sont les vitesses des points du solide), la résultante est le vecteur instantané de rotation. Le mouvement du solide est en général la superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position, quantité de mouvement etc.)) d'un mouvement de rotation et d'un mouvement de translation parallèlement à l'axe de rotation instantané (vissage). Les points du solide en translation sont précisément les points de l'axe central du torseur cinématique.

Torseurs couramment utilisés en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...)

Torseur statique

Torseur cinématique

Torseur cinétique

La résultante du torseur cinétique est constitué de l'impulsion, appelé aussi quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de...) de mouvement, du système. Son moment est le moment cinétique.

Torseur dynamique

Principe Fondamental de la Dynamique

En mécanique du solide, le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) est généralisé pour décrire le mouvement de tous les points d'un solide (ou d'un ensemble de solides), à travers le concept des couples qui peuvent agir sur un solide mais n'ont pas de contrepartie en mécanique du point. Le PFD s'énonce ainsi :

il existe un repère galiléen, tel qu’à tout instant, le torseur dynamique du solide dans son mouvement par rapport à ce repère est égal au torseur des forces extérieures agissant sur le solide.

Dans le cas particulier du point matériel (en assimilant le solide à sa masse rapportée en son centre d'inertie), le PFD se réduit à l'égalité des résultantes de ces torseurs, soit le Principe Fondamental de la Dynamique de Translation.

Exemple d'utilisation

Soit une barre en équilibre, en appui sur l'un de ses points, soit O, et sollicitée par deux forces \vec {F_1} (en un point A1 de la barre) et \vec {F_2} (en un point A2). Soit R la force de réaction au point O.

D'après les lois de Newton, il faut pour que la barre soit en équilibre que la somme des forces et la somme des moments soient nulles. Donc,

\mathcal {T}_{\vec F_1} + \mathcal {T}_{\vec F_2} + \mathcal {T}_{\vec R} = \mathcal {T}_{\vec 0}

(torseur nul), ce qui équivaut à:

\vec F_1 + \vec F_2 + \vec R = \vec 0

et à (puisque \vec \mathcal M_{\vec R / O} =  \vec 0)

\vec \mathcal M_{\vec F_1 / O} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / O}  = \vec 0.

De façon équivalente, au point A1,

\vec \mathcal M_{\vec F_1 / A1} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / A1} + \vec \mathcal M_{\vec R / A1} = \vec 0.

Autre acception

Soit G un groupe. Un G-torseur (traduction littérale de l'anglais G-torsor) désigne un ensemble sur lequel G agit de façon transitive (une seule orbite) et sans fixer aucun point. Cela équivaut à "oublier lequel des éléments de G est l'unité". Un G-torseur et le groupe G associé sont donc le même ensemble, mais muni de structures différentes.

L'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle...) en est un exemple pour le groupe des translations spatiales: additionner deux points n'a aucun sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...), leur différence par contre est un élément du groupe additif des translations, c'est-à-dire un vecteur. De même, les notes de la gamme dodécaphonique (avec identification des octaves) forment un G-torseur pour le groupe additif Z_12 des entiers mod. 12, les jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure...) de la semaine pour le groupe Z_7, etc. La droite réelle et le groupe additif des réels sont un autre exemple: l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) d'un système physique n'est définie que modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une...) une constante arbitraire, mais les variations d'énergie sont des éléments du groupe R.

La fibre (Une fibre est une formation élémentaire, végétale ou animale, d'aspect filamenteux, se présentant généralement sous forme de faisceaux.) d'un fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre espace appelé base, telle que la préimage de chaque...) principal est un G-torseur.

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