Constructivisme (mathématiques)
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Dans la philosophie des mathématiques, le constructivisme considère qu'il est nécessaire de trouver (ou "construire") un objet mathématique pour prouver qu'il existe. Selon les constructivistes, lorsqu'on suppose qu'un objet n'existe pas et on dérive une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) de cette hypothèse, l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) n'a toujours pas été trouvé ni son existence prouvée. Voir preuve constructive.

Le constructivisme est souvent confondu avec l'intuitionnisme, mais en réalité, l'intuitionnisme n'est qu'une forme de constructivisme. L'intuitionnisme maintient que les fondations (Les fondations d'un ouvrage assurent la transmission et la répartition des charges (poids propre et surcharges climatiques et d'utilisation) de cet ouvrage sur le sol. Le mode de fondation sera établi...) des mathématiques reposent sur l'intuition individuelle du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...), faisant ainsi des mathématiques une activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) intrinsèquement subjective. Au contraire, le constructivisme est en accord avec une vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) objective des mathématiques.

Mathématiques constructives

Les mathématiques constructives utilisent une logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est...) constructive, qui est essentiellement une logique classique où le principe du tiers exclu a été enlevé. Cela ne revient pas à dire que le principe du tiers exclu est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité...) interdit; des cas particuliers de ce principe seront prouvables en tant que théorèmes. Simplement, le principe n'est pas supposé en tant qu'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui...) (La loi de contradiction, en revanche, est toujours valide).

Par exemple, dans l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...) de Heyting, il est possible de prouver que pour toute proposition p qui ne contient pas de quantificateur, \forall x,y,z,... \in \mathbb{N} : p \vee \neg p est un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) (où x, y, z ... sont des variables libres dans la proposition p). En ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...), les propositions réduites à un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) peuvent toujours être vues comme étant ou vraies ou fausses, comme en mathématiques classiques, mais ce principe de bivalence n'est pas supposé pouvoir s'étendre aux propositions sur des ensembles infinis.

En fait, Luitzen Egbertus Jan Brouwer, le fondateur (Le Fondateur (titre original : Founding Father) est une nouvelle de science-fiction d'Isaac Asimov, parue en février 1965, et publiée en français dans...) de l'école intuitionniste, voyait le principe du tiers exclu comme quelque chose qui était extrait de l'expérience du fini, et qui était appliqué par les mathématiciens à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...), sans justification. Par exemple, la conjecture de Goldbach (La conjecture de Goldbach est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques. La conjecture s'énonce ainsi :) est l'hypothèse que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) pair (plus grand que 2) est la somme de deux nombres premiers. Il est possible de tester pour chaque nombre pair particulier s'il est ou non la somme de deux nombres premiers (par exemple avec une recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche...) exhaustive), alors il est juste de dire que chacun d'entre eux est ou bien la somme de nombres premiers, ou ne l'est pas. Et ainsi de suite, chacun d'entre eux testé jusqu'à présent est bien la somme de deux nombres premiers.

Cependant, il n'y a aucune preuve connue que la propriété est vraie pour tout nombre pair, ni aucune preuve du contraire. Ainsi, pour Brouwer, il n'est pas possible de dire "ou bien la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Goldbach est vraie, ou elle ne l'est pas". Et indépendamment du fait que la conjecture puisse être un jour prouvée, l'argument s'applique aux problèmes similaires non résolus. Pour Brouwer, le principe du tiers exclu était équivalent à supposer que chaque problème mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) possède une solution.

En se séparant du principe du tiers exclu en tant qu'axiome, la logique constructiviste possède une propriété d'existence que la logique classique n'a pas : lorsque \exists_{x\in X} P(x) est prouvé de manière constructive, alors P(a) est prouvé de manière constructive pour au moins un a\in X particulier. Ainsi, la preuve de l'existence d'un objet mathématique est lié à la possibilité de sa construction.

Exemple en analyse réelle

En analyse réelle classique, une manière de définir un nombre réel est de l'identifier à une classe de suites de Cauchy de nombres rationnels.

En mathématiques constructives, une manière de construire un nombre réel est en tant qu'une fonction f prenant un entier positif n et rendant un rationnel f(n), en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) qu'une fonction g prenant un entier positif n et rendant un entier positif g(n) tel que

\forall n : \forall i,j \ge g(n) : |f(i) - f(j)| \le {1 \over n}

de telle sorte qu'alors la valeur n augmente, les valeurs de f(n) se rapprochent de plus en plus. On peut alors utiliser f et g ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) pour calculer aussi précisément que souhaité une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore...) rationnelle du nombre réel qu'elles représentent.

Avec cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...), une représentation simple du nombre réel e est :

f(n) = \sum{i=0}^n {1 \over n!}, \; g(n) = n

Cette définition correspond à la définition classique en utilisant les suites de Cauchy, mais avec une touche constructive : pour une suite de Cauchy (En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se rapprochent à partir...) classique, il est requis que pour toute distance préalablement donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...), aussi petite soit-elle, il existe (au sens classique) un terme de la suite après lequel tous les termes sont plus proches que la distance donnée. Dans la version constructive, il est requis que pour chaque distance donnée, il soit dans les faits possible de spécifier un point (Graphie) de la suite où cela se produit. En fait, l'interprétation constructive standard de l'énoncé mathématique

\forall n : \exists m : \forall i,j \ge m: |f(i) - f(j)| \le {1 \over n}

est précisément l'existence de la fonction calculant le module de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :). Ainsi la différence entre les deux définitions des nombres réels peut être vue comme la différence dans l'interprétation de l'énoncé "pour tout ... il existe".

Cela pose la question de savoir quelle sorte de fonction d'un ensemble dénombrable (Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels , c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur  ; cela équivaut à l'existence d'une...) vers un ensemble dénombrable, telle que f et g ci-dessus, peut en réalité être construite. Différentes versions du constructivisme divergent sur ce point. Les constructions peuvent être définies aussi généralement comme des séquences de choix libre, ce qui est le point de vue intuitionniste, ou aussi étroitement comme des algorithmes (ou plus précisément des fonctions récursives), ou même laissées non spécifiées. Si par exemple le point de vue algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus...) est pris, alors les réels construits ici sont essentiellement ce que serait appelé de manière classique les nombres réels calculables.

Cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal...)

Prendre l'interprétation algorithmique ci-dessus peut paraître étrange avec les notions classiques de cardinalité. En énumérant les algorithmes, il est possible de montrer classiquement que les nombres calculables sont dénombrables. Et cependant, l'argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) de Cantor montre que les nombres réels ont une plus grande cardinalité. De plus, l'argument de la diagonale semble parfaitement constructif. Identifier les nombres réels avec les nombres calculables serait alors une contradiction.

Et dans les faits, l'argument de la diagonale de Cantor est constructif, au sens où étant donnée une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) entre les nombres réels et les nombres naturels, on construit un nombre réel qui ne correspond pas, et prouve ainsi une contradiction. On peut en effet énumérer les algorithmes pour construire une fonction T des entiers naturels vers les réels. Mais, à chaque algorithme, il peut ou non correspondre un nombre réel, puisque que l'algorithme peut échouer à satisfaire les contraintes, ou même ne pas terminer (T est une fonction partielle), et cela fait échouer la production de la bijection requise.

Cependant, on pourrait espérer que puisque T est une fonction partielle des entiers naturels vers les nombres réels, les nombres réels ne sont pas plus que dénombrables. Et, puisque chaque nombre entier peut être trivialement représenté par un nombre réel, alors les nombres réels ne sont pas moins que dénombrables. Ils sont donc exactement dénombrables. Cependant, ce raisonnement n'est pas constructif, puisqu'il ne construit pas dans les faits la bijection requise. En fait, la cardinalité des ensembles n'est pas totalement ordonné (voir le théorème de Cantor-Bernstein).

Attitude des mathématiciens

Traditionnellement, les mathématiciens ont été très suspicieux, si ce n'est complètement opposés, envers les mathématiques constructives, largement en raison des limitations que cela pose pour l'analyse constructive. Ces positions ont été exprimées avec force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au...) par David Hilbert en 1928, quand il écrit dans Die Grundlagen der Mathematik, "Enlever le principe du tiers exclu aux mathématiciens serait la même chose, disons, que d'interdire le télescope (Un télescope, (du grec tele signifiant « loin » et skopein signifiant « regarder, voir »), est un instrument d'optique permettant d'augmenter la...) aux astronomes ou aux boxeurs l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) des poings" (lien) Errett Bishop, dans son ouvrage de 1967 Foundations of Constructive Analysis, a travaillé pour dissiper ces craintes en développant un grand morceau de l'analyse traditionnelle dans un cadre constructif. Cependant, tous les mathématiciens n'admettent pas que Bishop ait réussi, puisque son livre est nécessairement plus compliqué qu'un livre d'analyse classique le serait. Dans tous les cas, la plupart des mathématiciens n'ont pas besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins secondaires et les besoins...) de se restreindre à des méthodes constructives, même si cela peut être fait.

(lien) Traduction de Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/.

Mathématiciens ayant contribué au constructivisme

  • Errett Bishop
  • Paul Lorenzen
  • Leopold Kronecker (constructivisme)
  • L.E.J. Brouwer (intuitionnisme)
  • Arend Heyting (logique intuitionniste)

Branches

  • Logique constructive
  • Théorie des types (La théorie des types est une branche de la logique mathématique : elle fonde la construction des objets sur la notion de fonction et non pas sur celle d'ensemble.) constructives
  • Analyse constructive
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