Application multilinéaire
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une fonction mathématique à plusieurs variables vectorielles qui est linéaire en chaque variable.

Quelques exemples classiques :

  • Le produit scalaire est une fonction bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ) symétrique à deux variables vectorielles, et qualifiée de forme bilinéaire car à valeur dans le corps de base
  • Le déterminant est une fonction multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou rangées) d'une matrice carrée.

L'étude systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé sur des principes divers. Elle ne doit pas...) des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) générale du déterminant, du produit extérieur et de nombreux autres outils ayant un contenu géométrique. La branche de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) correspondante est l'algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels,...). Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des variétés, en topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) différentielle.

Forme k-linéaire

Soit k>1 un entier. Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Une forme k-linéaire sur E est une application de Ek dans \mathbb{K}, linéaire en chaque variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. ...). Ainsi pour des vecteurs x1, ..., xk, x'i et des scalaires a et b

f(x_1,\dots,x_{i-1}, ax_i+bx'_i,x_{i+1}, \dots, x_k )=a f(x_1, \dots, x_k) + bf(x_1, \dots,x'_i,\dots x_k)

Il ne faut pas confondre cette notion avec celle d'application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des...) de Ek dans \mathbb{K}. Pour une telle application on aurait en effet

f(ax_1+bx'_1,\dots,ax_k+bx'_k )=a f(x_1, \dots, x_k) + bf(x'_1, \dots,x'_k)

De façon informelle, il faut se représenter une application k-linéaire comme une application produit de k termes, avec une propriété de type distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite).

Écriture en composantes

Si l'espace E est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) finie n et muni d'une base e1, ..., en, on peut décomposer chaque vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...)

x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i

Alors l'expression d'une forme k-linéaire sur le k-uplet x1, ..., xk devient

f(x_1,\dots,x_k )= f\left(\sum_{i_1=1}^n X_{i_1,1} e_{i_1}, \dots, \sum_{i_k=1}^n X_{i_k,k} e_{i_k}\right)=\sum_{i_1=1}^n \dots \sum_{i_k=1}^n \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})

La connaissance des nk valeurs f(e_{i_1},\dots,e_{i_k}) détermine entièrement la forme k-linéaire f.

Les formes k-linéaires alternées (alternées ???) sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) E de dimension n forment donc un espace vectoriel Lk(E), de dimension nk.

Forme k-linéaire alternée

Une forme k-linéaire sur E est dite alternée si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un k-uplet contenant deux vecteurs identiques

[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_k)=0

Antisymétrie

Toute forme k-linéaire alternée est antisymétrique, c'est-à-dire que l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une...)

f(x_1,\dots, x_k) = -f(x_1,\dots, x_{i-1}, x_j, x_{i+1},\dots, x_{j-1}, x_i, x_{j+1}, \dots, x_k)

Sauf dans le cas où \mathbb{K} est un corps de caractéristique deux, la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est vérifiée : toute forme k-linéaire antisymétrique est alternée.


Forme plus générale de la propriété d'antisymétrie

Si f est une forme k-linéaire antisymétrique, on peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un...) des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le signe est changé en son opposé. Finalement l'effet d'une permutation générale des vecteurs est la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) de la valeur obtenue par la signature de la permutation.

\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots, x_k)

Cette propriété s'applique notamment pour les formes k-linéaires alternées.

Forme n-linéaire alternée en dimension n

Dans cette section on étudie le cas particulier k=n qui permet de construire le déterminant.

Si l'espace E est de dimension finie n et muni d'une base e1, ..., en, on peut décomposer chaque vecteur

x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i

Alors l'expression d'une forme n-linéaire alternée sur le n-uplet x1, ..., xn se simplifie. Après suppression des termes où figurent deux fois le même vecteur, il vient

f(x_1,\dots,x_n )=  \sum_{(i_1, \dots,i_n)\in J} \prod_{j=1}^n X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_n})

J est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des n-uplets (i_1, \dots, i_n) avec chaque ij dans [|1,n|] et les ij tous distincts.

Mais alors (i_1, \dots, i_n) sont les entiers de 1 à n rangés dans un certain ordre. En d'autres termes, ils forment une permutation des entiers de 1 à n. On retrouve une et une seule fois chacune des permutations de n entiers dans la somme précédente. Ceci permet de réindexer

f(x_1,\dots,x_n )=  \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} f(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})

Enfin par antisymétrie

f(x_1,\dots,x_n )=  \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})

Ainsi la connaissance d'un seul scalaire, f(e_{1},\dots,e_{n}) suffit pour déterminer complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant...) la fonction f.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...)

L'ensemble An(E) des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n constitue un espace vectoriel de dimension 1.


On appelle notamment application déterminant relativement à la base base e1, ..., en l'unique application n-linéaire alternée telle que f(e1,...,en) = 1. Ses propriétés sont étudiées dans l'article déterminant (mathématiques).

Forme k-linéaire alternée en dimension n

Reprenant le cas d'une application k-linéaire alternée en dimension n, une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figurent deux fois le même vecteur, il vient

f(x_1,\dots,x_k )=  \sum_{(i_1, \dots,i_k)\in J} \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})

J est l'ensemble des k-uplets (i_1, \dots, i_k) avec chaque ij dans [|1,n|] et les ij tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans f de façon à ne conserver qu'une combinaison (Une combinaison peut être :) de termes de la forme f(e_{i_1}, \dots, e_{i_k}) \qquad \hbox { avec } 1\leq i_1<i_2<\dots <i_{k-1}<i_k\leq n

  • si k = n alors il n'est pas possible de trouver de tels k-uplets, ce qui signifie qu'il n'existe pas d'autre forme k-linéaire alternée en dimension n que la forme nulle.
  • si k\leq n alors le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de tels k-uplets réordonnés est le coefficient binomial (Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…) {n \choose k}. Par une démonstration analogue à celle du paragraphe précedent, une forme k-linéaire alternée est caractérisée par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de la valeur de f sur ces k-uplets.

En définitive, l'espace des formes k-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension {n \choose k}.

Plus précisément la formule de décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés...) peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) est un mineur de la matrice représentative des vecteurs xi dans la base des ej.

f(x_1,\dots,x_k )=  \sum_{ 1\leq i_1<i_2<\dots <i_{k-1}<i_k\leq n}  \begin{vmatrix}  X_{i_1;1}&X_{i_1;2}&\dots &X_{i_1;k} \\ X_{i_2;1}&X_{i_2;2}&\dots &X_{i_2;k} \\ \vdots &\vdots & & \vdots \\ X_{i_k;1}&X_{i_k;2}&\dots &X_{i_k;k}  \end{vmatrix}f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})
Page générée en 0.302 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique