Algèbre multilinéaire - Définition

Introduction

En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, l’algèbre multilinéaire est bâtie sur le concept d’un tenseur et développe la théorie des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend un certain nombre d'espaces et l'exposé de leurs relations.

Historique de l’approche vers l’algèbre multilinéaire

L'algèbre multilinéaire a des racines variées plongeant dans ce qui a été appelé au XIXe siècle l’analyse tensorielle ou le « calcul tensoriel des champs tensoriels ». Elle s’est développée à partir de l’utilisation des tenseurs dans la géométrie différentielle, la relativité générale et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, l’étude des tenseurs est reformulée plus abstraitement. Le traité du groupe Bourbaki, l’Algèbre multilinéaire, est particulièrement influent — en fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé là.

Une des raisons de cette nouvelle formulation est une nouvelle aire d’application, l’algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 40 donne une incitation additionnelle au développement d’un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit de deux espaces topologiques utilise le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel que celui d’un tore, que les groupes homologiques peuvent être calculés directement de cette façon (voir théorème de Künneth). Les phénomènes topologiques, assez subtils, sont à la source d’une nouvelle réflexion sur les concepts fondamentaux du calcul tensoriel.

Le matériel à organiser est dense, incluant des idées allant jusqu’à Hermann Günther Grassmann, les idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à la cohomologie de De Rham, ainsi qu’à des notions plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel.

La description qui résulte du travail de Bourbaki, plutôt abstraite, rejette entièrement l'approche vectorielle (utilisée par exemple dans la construction des quaternions), c’est-à-dire, dans le cas général, la relation entre les espaces tensoriels et les groupes de Lie. Les mathématiciens de Bourbaki suivent au lieu de cela une approche nouvelle basée sur la théorie des catégories, dans laquelle l’approche du groupe de Lie est vue comme une description secondaire. Puisque cela mène à un traitement beaucoup plus propre, il n’y aura probablement plus de retour en arrière en termes mathématiques. (Strictement, l’approche de la propriété universelle fut invoquée ; ceci est un peu plus général que la théorie des catégories, et la relation entre les deux moyens alternatifs peut aussi être clarifiée, en même temps.)

En effet, ce qui a été fait est presque précisément pour expliquer que les espaces tensoriels sont les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfère aucune intuition géométrique.

Le bienfait de cette formalisation est qu’en réexprimant des problèmes en termes d’algèbre multilinéaire, il y a une « meilleure solution » claire et bien définie : les contraintes que la solution exercent sont exactement celles dont on a besoin en pratique. En général il n’y a pas de besoin d’invoquer une quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou recours pour coordonner des systèmes. Dans le jargon catégoriel-théorique, tout est entièrement naturel.