Forme linéaire - Définition et Explications

En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) des distributions, ou dans la théorie des espaces de Hilbert.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

En algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations...), une forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en...) sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) \ E est une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition...) définie sur \ E et à valeurs dans son propre corps de base.

En d'autres termes, \ E étant un \mathbb K- espace vectoriel, on dit que l'application \ \varphi de \ E dans \mathbb K est une forme linéaire si :

\forall \,(x,y) \in E^2 \ \ \ \forall \, \lambda \in \mathbb K \ \ \ \varphi(\lambda \cdot x + y)=\lambda \cdot \varphi(x)+\varphi(y).

Remarques

  • L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) des formes linéaires sur \ E est lui-même un \mathbb K- espace vectoriel. On l'appelle le dual de \ E et il est noté \ E^*.
  • L'application constante de valeur \ 0_\mathbb K s'appelle la " forme linéaire nulle ".

Exemples

  • \varphi : \R^{2} \rightarrow \R
(x,y) \mapsto x+y

est une forme linéaire sur \R^{2}

  • Si L1(Ω) est le \mathbb{C}-espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes intégrables sur l'espace mesuré Ω alors l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) est une forme linéaire sur L1(Ω). Cela signifie que \forall \,(f,g) \in (L^1(\Omega))^2  \ \ \ \forall \, \lambda \in \mathbb{C} \ \ \ \int(\lambda \cdot f + g)=\lambda \cdot \int f+\int g

Base duales et antéduales

L'ensemble des formes linéaires sur un espace vectoriel \ E se note en général \ E ^* et s'appelle l'espace vectoriel dual de \ E, ou plus simplement son espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et...). Si \ E est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) finie \ n, il est remarquable que \ E ^{*} soit aussi de dimension finie \ n. En d'autres termes, on peut aussi dire qu'un espace de dimension finie est isomorphe à son dual. Cependant, il n'y a pas d'isomorphisme canonique dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) où si \ E est quelconque, il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de pouvoir définir un isomorphisme le reliant à \ E^*. Si \ (e_1, ..., e_n) une base de \ E, on définit sur celle-ci les formes linéaires notées (e_1^*,...,e_n^*) par :

\forall i,j \in \{1, ..., n \}, e_i^*(e_j)=\delta_{ij}

(où δij est le symbole de Kronecker (En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule)...), c'est-à-dire valant 1 si i = j et 0 sinon). Ces formes linéaires sont aussi appelées les projections des coordonnées, l'image d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) x par e_i^* n'est autre que la i-ème coordonnée du vecteur x dans la base \ (e_1, ..., e_n). Le résultat important est que la famille de formes linéaires (e_1^*,...,e_n^*) forme une base de E * ; on appelle aussi cette base la base duale de la base \ (e_1, ..., e_n).

Inversement, si on se donne une base \ (f_1^*, ..., f_n^*) de \ E^*, il existe une unique base \ (f_1, ..., f_n) de \ E telle que:

\forall i,j \in \{1, ..., n \}, f_i^*(f_j)=\delta_{ij}

La base \ (f_1, ..., f_n) s'appelle la base antéduale de la base \ (f_1^*, ..., f_n^*).

Propriétés algébriques

  • Si \ \varphi est une forme linéaire non nulle, alors elle est surjective  : \ Im(\varphi)=\mathbb K, où \ Im(\varphi) est l'image de \ \varphi.
  • Si \ \varphi est une forme linéaire non nulle, alors son noyau Ker(\varphi)  est un hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) de \ E.
Réciproquement, si \ H est un hyperplan de \ E, il existe une forme linéaire \ \varphi telle que \ Ker(\varphi) = H ; cette forme linéaire (nécessairement non nulle) est unique, à un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients...) multiplicatif non nul près.
  • Enfin, une propriété importante est que deux formes linéaires ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

Formes linéaires continues

Si on considère un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée...) \ E sur le corps \mathbb{K}=\R ou \mathbb{C}, alors on sait définir la notion de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de...) de n'importe quelle application linéaire et en particulier, on dispose d'une notion de continuité pour les formes linéaires.

  • Si \ E est un espace vectoriel normé et \ \varphi est une forme linéaire continue alors elle est uniformément continue.

Formes linéaires continues sur un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en...)

On suppose désormais que E\, est un espace de Hilbert sur le corps \mathbb{K} et on note \langle\quad,\quad \rangle le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe...) sur cet espace vectoriel.

On démontre que les formes linéaires continues sur E\, s'expriment alors toutes d'une manière simple en fonction du produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) et plus précisément :

\forall \varphi \in E^{*}, \exists! \ a_{\varphi} \in E, \forall x \in E, \varphi(x)= \, \langle x,a_{\varphi}\rangle.

Grâce à Riesz.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) linéaire
Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal,...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème...) | Théorème des facteurs invariants (En mathématiques, le théorème des facteurs invariants porte sur les modules de type fini sur les anneaux principaux. Les facteurs invariants sont des obstructions à l'inversibilité des...) | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour...) | Décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression...) | Valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés,...) | Polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la...) | Forme linéaire | Espace dual | Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas...) | Produit scalaire | Produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de...) | Polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) d'endomorphisme | Polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un...) | Tenseur (Tenseur) | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des...)
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