Loi de Poisson
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En statistique, la loi de Poisson de paramètre λ, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant:

Sur une période T, un événement arrive en moyenne λ fois. On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...

Cette variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de...) suit une loi de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un...) définie par

p(k) = P(X = k)= \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}\, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel k,

  • e est la base de l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...) (2,718...)
  • k! est la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou...) de k
  • λ est un nombre réel strictement positif

C'est la loi de Poisson (En statistique, la loi de Poisson de paramètre λ, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant:) de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) λ

Calcul de p(k)

Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p correspond au modèle suivant :) de paramètres (T; λ/T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus...).

Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions Fk(t) = probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.), on parvient à retrouver les formules précédentes.

Espérance, variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ), écart type (En mathématiques, l'écart type est une quantité réelle positive, éventuellement infinie, utilisée dans le domaine des probabilités pour caractériser la répartition d'une variable aléatoire autour de sa moyenne. En...)

L'espérance d'une loi de Poisson est λ.


La variance d'une loi de Poisson est λ.


Son écart type est donc \sqrt{\lambda}

Fonction Caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :)

La fonction caractéristique de la loi de poisson est \phi (X) =\ e^{\lambda(t-1)}


Domaine d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dûs aux coups de pied de cheval (Le cheval (Equus ferus caballus ou equus caballus) est un grand mammifère herbivore et ongulé appartenant à l'une des sept espèces de la famille des équidés. Il a évolué au cours...) dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz).

Mais depuis quelques décennies son champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (Les télécommunications sont aujourd’hui définies comme la transmission à distance d’information avec des moyens électroniques. Ce terme est plus...) (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.) de qualité statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le...), la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences naturelles et de l'histoire naturelle des...), la météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques tels que les nuages, les précipitations ou le vent dans le but de...), …

Diagrammes en bâtons

Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de...) en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.

Lorsque le paramètre λ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme (L'histogramme est le graphe permettant de représenter l'impact de diverses variables continues.) d'une loi normale d'espérance et de variance égales à λ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors X+Y est une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable...) aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.

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