Paradoxe de Banach-Tarski
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Illustration du paradoxe de Banach-Tarski
Illustration du paradoxe de Banach-Tarski

Le paradoxe de Banach-Tarski, dû à Stefan Banach et Alfred Tarski, montre qu’il est possible de couper une boule de \mathbb R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) près. Il montre qu’il existe des morceaux non-mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) (la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...), la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) ou le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) étant des exemples de mesures).

Il remet en cause notre notion intuitive de volume, puisque il n’y pas de " création " de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux....), donc il existe des parties de \mathbb R^3 pour lesquelles la notion de mesure (et donc de volume) n’a pas de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...). Cela est aussi " paradoxal " que d'affirmer que l’intervalle [0, 1] contient " autant " de nombres que \mathbb R tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) de ce paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit...) utilise l’axiome du choix, qui a été et est toujours contesté par certains mathématiciens. Par ailleurs, toute tentative pour exhiber des ensembles non-mesurables utilise cet axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...).

Préliminaires

Le groupe des isométries est l’ensemble de toutes les translations, symétries planaires, rotations et de leur composées, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les manières de prendre une figure dans l’espace et de la déplacer ou de la faire tourner sur elle-même sans la déformer (et en particulier sans changer sa taille). Une isométrie peut se voir comme une fonction mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) g et une figure comme un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de points E. Dire qu’il existe un ensemble F tel que g(E) = F, c’est simplement dire en gros que E et F ont la même forme et la même taille, bref qu’ils sont identiques à leur position près.

Deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant une isométrie). Un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une " moitié " de lui-même.

Une mesure est en gros une fonction mathématique qui satisfait aux mêmes conditions qu’une longueur. C’est donc une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...) de la longueur (ou du volume). Un bon exemple de mesure est la mesure de Lebesgue : si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble " en plusieurs morceaux ", on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux. Par exemple, si deux bouteilles (Sur les anciens navires à voiles, on appelait les bouteilles deux petits compartiments, un de chaque côté du tableau arrière servant de toilettes aux...) d’un litre (Le litre (du grec λίτρα lítra, ancienne mesure de capacité – une livre de douze onces – égale au...) de vin sont posées à deux endroits différents, physiquement il y a deux objets distincts. C’est ici que le volume montre " ses limites ". Mais mathématiquement on peut considérer que ces deux bouteilles ne forment qu’un seul et même objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) dont le volume est 2 litres. C’est typiquement une mesure.

Plus généralement, la mesure d'un " objet " vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) vaut 0, alors que la mesure d'un ensemble constitué de plusieurs " objets " est la somme des mesures de chacun des objets. Ce qu'affirme ce paradoxe, c’est qu’on peut construire des ensembles suffisamment " tordus " pour qu’on ne puisse pas les mesurer, c’est-à-dire qu’on ne peut pas leur associer une valeur en général (ou un volume ou une longueur en particulier) sans violer les deux propriétés évoquées plus haut. Plus précisément, si on essaie de trouver une manière de leur associer un volume, on peut prouver qu’en continuant d’appliquer cette méthode, on trouvera une partie qui a le même volume que le tout, ou un verre (Le verre, dans le langage courant, désigne un matériau ou un alliage dur, fragile (cassant) et transparent au rayonnement visible. Le plus souvent, le verre est constitué d’oxyde de silicium...) à eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) a le même volume qu’un camion (Le camion est un véhicule routier de plus de 3,5 tonnes, destiné à transporter des marchandises. Le camion se distingue du véhicule léger sur le plan technique...) citerne (Une citerne est destinée à la collecte des eaux de pluies et à leur rétention afin d'en permettre une utilisation régulière, quotidienne (bien souvent domestique à l'origine), ou une...), ce qui est absurde. Donc, il faut reconnaitre que le volume d’un tel ensemble n’existe pas. Bien sûr, il s’agit d’une propriété mathématique, on ne pourra jamais construire physiquement un tel ensemble.

Le paradoxe affirme que l’on peut multiplier les petits pois (Le pois (Pisum sativum L.) est une espèce de plante annuelle de la famille des légumineuses (Fabacées), largement cultivée pour ses graines, consommées comme légume ou...) ou transformer une grenouille (Le terme grenouille est un nom vernaculaire donné à certains amphibiens, principalement dans le genre Rana. À un de ses stades de développement, la larve de la grenouille est appelée un têtard. Les grenouilles...) en quelque chose de plus gros que le bœuf dès l’instant qu’on passe par une étape où elle est coupée en morceaux non mesurables, où le volume perd son sens. Par la suite, on peut réassembler ces morceaux en un objet " plus gros " sans avoir à dire que la grenouille et le bœuf ont le même volume puisque le volume du résultat n’est pas la somme des volumes des morceaux.

Ce paradoxe a été assez longtemps source d'une rupture entre les mathématiques et la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...), certains y voyaient la preuve que les mathématiques étaient incapables de décrire la nature. En pratique, une telle transformation est impossible avec des objets de la vie (La vie est le nom donné :) courante : elle nécessite des coupures infiniment fines, ce qui est physiquement impossible, à cause de la taille finie des atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est...).

En résumé, le paradoxe est faux, car \mathbb R^3 n'est pas une description fidèle de notre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.).

Enoncé plus précis

Soient A, B deux parties d’un ensemble E. On dit que A et B sont équidécomposables suivant un groupe de transformation G s’il existe deux suites finies d’ensembles (F_n)_{n\in I} et (H_n)_{n\in I} telles que :

  • \forall n \in I, \exists g \in G  | g(F_n)=H_n
  • \bigcup_{n\in I} F_n = A
  • \bigcup_{n\in I} H_n = B

Par exemple, tout parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) est équidécomposable à un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.). L’équidécomposabilité est une relation d'équivalence, donc elle est symétrique, réflexive et transitive. À noter ici qu’il n'est pas intéressant d’inclure les homothéties dans G. On prend donc généralement le groupe des isométries (translations et rotations).

Un ensemble E est dit " dédoublable " s’il existe deux ensembles A et B non vides tels que E = A \cup B (union disjointe) et tels que A, B, E soient équidécomposables.

Démontrer le résultat de Banach-Tarski revient à montrer que la boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus généralement dans muni de la distance euclidienne usuelle....) de \mathbb R^3 est dédoublable suivant le groupe des isométries de \mathbb R^3.

Il faut enfin remarquer le rôle essentiel joué dans ce résultat par la non commutativité du groupe des rotations de l'espace : on démontre que le paradoxe n'est pas possible dans le plan.

Un exemple d’ensemble non mesurable

Soit R une relation d'équivalence définie par \forall x,y \in\mathbb R, xRy \Leftrightarrow x-y \in\mathbb Q.

On construit l'ensemble quotient \mathbb R/R, qu'on note aussi \mathbb R/\mathbb Q ( dans ce cas, la relation d'équivalence est sous entendue).

Soit Sn un ensemble tel que Sn contienne un et un seul élément de chaque classe d’équivalence de \mathbb R. On utilise l’axiome du choix, car on ne sait pas construire de fonction de \mathbb R/R \rightarrow \mathbb{R} telle qu’elle renvoie un et un seul élément de chaque classe d’équivalence, on est donc obligé de supposer son existence.

On peut montrer que Sn n’est pas mesurable (c’est-à-dire qu’il n’appartient pas à la tribu de Lebesgue).

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