Anneau (mathématiques) - Définition et Explications

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Introduction

En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique sur laquelle deux opérations satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres.

Aspect historique

L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...). Elle est développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) par les mathématiciens Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) d'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) du grand théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des...) et de la géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...).

Dans le Xe Supplément de sa seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps (Körper), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira un peu plus tard d'autres anneaux qu'il appelle ordres (Ordnung). Mais c'est David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale –...) qui emploie le terme d'anneau (Ring) pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son Rapport sur les nombres (Zahlbericht) de 1897 pour la Deutsche Mathematiker-Vereinigung.

Opérations sur les éléments d'un anneau

Puissances dans un anneau

Soit n un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...) supérieur à 1, x un élément de l'anneau A, on note xn pour désigner l’élément de A défini par récurrence à partir de :

x1 = x et xn + 1 = xn.x.

On a :

xm.xn = xm + n.

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) entier naturel non nul n, xn résulte de n-1 associations de la seconde loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux...) associative ·, en utilisant n valeurs successives toutes égales à x (l’ordre de ces compositions est sans importance car elles sont associatives)

xn = x.x....x.

Si l'anneau A est unitaire, on pose habituellement x0 = 1A.

Eléments permutables dans un anneau et anneaux commutatifs

Si xy=yx, on dit que x et y sont permutables et alors (xy)n = xn.yn.

  • Anneau commutatif : un anneau est commutatif si sa seconde loi est aussi commutative, c'est-à-dire si tous ses éléments sont permutables.
Voir article détaillé : Anneau commutatif
Convention : Le terme « anneau » est souvent employé pour désigner un anneau commutatif unitaire. Il faut donc prêter garde au contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) dans lequel ce terme est employé.

Multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) par un entier relatif (En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe...)

Précisons tout de suite que cette multiplication ne fait pas partie de la structure de l'anneau, mais elle apparaît de façon naturelle pour tout anneau. Il s'agit tout simplement de la multiplication par un entier appliquée au groupe additif de l'anneau. L'élément na est défini par

  • si n > 0,\ na = a + a + \ldots + a avec n termes a
  • si n = 0,\ na = 0
  • si n < 0,\ na = - |n|a

De plus, cette loi externe est compatible avec la multiplication de l'anneau :

\forall n \in \Z,\ \forall (a,b) \in A \times A,\ (na) \cdot b=a \cdot(nb)= n(a \cdot b)

Cela confère alors à l'anneau une structure de \Z-algèbre associative. En particulier, si l'anneau est unitaire, on peut multiplier son unité par tout entier, et cela définit une application de Z dans A . Il est clair, d'après sa définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...), que cette application est le seul morphisme d'anneaux unitaires de Z vers A. On peut alors définir la caractéristique de l'anneau comme l'entier naturel n qui engendre le noyau de ce morphisme. En effet, le noyau de ce morphisme est un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) de Z et s'écrit alors nZ.

Cette structure additionnelle est très utilisée pour les différentes théories de cohomologie.

Formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton...)

Voir Formule du binôme de Newton.

Cette formule est applicable à tout couple d'éléments permutables.

Elle se généralise à toute famille finie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou...) d'éléments permutables deux à deux : Formule du multinôme.

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