Courbure - Définition et Explications

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Courbure d'une surface de R3

Pour disposer de versions algébrisées de toutes les notions de courbure introduites, il convient de considérer une surface orientée.

Courbures principales

Illustration des courbures principales

En un point (Graphie) M de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...), on considère un plan tournant, perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) en M au plan tangent à la surface. Ce plan intersecte la surface considérée en une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...). À chacune des courbes ainsi construite est associée sa courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est...) en M.

Les valeurs minimum et maximum de la courbure portent le nom de courbures principales. En général, elles sont différentes et, dans ce cas, les plans correspondant aux deux courbures principales sont perpendiculaires entre eux. Leur intersection avec le plan tangent définit les directions principales.

Courbures principales et directions principales sont respectivement les valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme symétrique du plan tangent. Ce dernier, l'endomorphisme de Weingarten, s'obtient à partir de la différentielle de l'application de Gauss.

Courbure moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...)

On appelle courbure moyenne \gamma \, la moyenne des courbures principales, soit \gamma=\frac {\gamma_{max}+\gamma_{min}}{2} \,

Il s'agit de la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) de l'endomorphisme de Weingarten.

Courbure de Gauss

On appelle courbure de Gauss \gamma \, le produit des courbures principales, soit \gamma=\gamma_{max}.\gamma_{min} \,

Il s'agit du déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.

Courbure totale

La courbure totale d'une surface orientée S de l'espace est l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) de la courbure de Gauss sur la surface. Elle s'interprète également comme l'aire (algébrique) balayée par le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) normal unitaire sur la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) unité.

Définition de la courbure d'un arc plan

La courbure est définie comme la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) du vecteur accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...) d'un mobile parcourant une courbe à vitesse (On distingue :) constante égale à 1. En d'autres termes, c'est la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) par rapport à l'abscisse curviligne de la position du mobile.

En pratique si on considère une courbe paramétrée \mathbf{r}(t), la courbure est la norme du vecteur \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}, où s est l'abscisse curviligne définie par s(t)\triangleq \int_{\tau = t_0}^{\tau=t} \left\| \dot{\mathbf{r}}(\tau)\right\|\mathrm{d}\tau, où on note \dot{\mathbf{r}}(t) \triangleq \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) et \ddot{\mathbf{r}}(t) \triangleq \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}(t).


Le problème revient donc à calculer \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}:

\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2} = \frac{1}{\left\|\dot{\mathbf{r}}(t)\right\|^2}\left(\ddot{\mathbf{r}}(t) - \frac{\dot{\mathbf{r}}(t)}{\left\|\dot{\mathbf{r}}(t)\right\|}\frac{\mathrm{d}\left\|\dot{\mathbf{r}}(t)\right\|}{\mathrm{d}t}\right)

On peut également écrire cette formule ainsi:

\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2} = \frac{1}{\left\|\dot{\mathbf{r}}(t)\right\|^2}\left(\ddot{\mathbf{r}}(t) - \frac{\dot{\mathbf{r}}(t)}{\left\|\dot{\mathbf{r}}(t)\right\|^2} \langle \dot{\mathbf{r}}(t)\mid \ddot{\mathbf{r}}(t)\rangle \right)

\langle \mathbf{a}\mid \mathbf{b}\rangle désigne le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) entre un vecteur \mathbf{a} et un vecteur \mathbf{b}.

Calcul explicite

Pour une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un...) en coordonnées paramétriques dans un repère orthonormé \scriptstyle{ r(t) = (x(t),y(t))}, la courbure s'exprime par

\gamma(t) = \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.

Dans le cas où la courbe est paramétrée par l'abscisse cartésienne \scriptstyle{ y=f(x) } la courbure s'exprime par

\gamma(x) = \frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}.


Lorsque l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de la courbe est exprimée en coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...), \scriptstyle{ \rho = \rho(\theta)} , sa courbure se calcule par la formule

\gamma(\theta) = \frac{\rho^2 + 2\rho'^2 - \rho \rho''}{\left(\rho^2+\rho'^2 \right)^{3/2}},

dans laquelle la dérivée est prise par rapport à \scriptstyle{ \theta}.

Courbure d'une variété riemanienne

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) riemannienne, la courbure est un tenseur (Tenseur) introduit à partir de la notion de connexion. Cet objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) s'est dégagé comme le plus pertinent, mais il peut être difficile à appréhender en raison du formalisme nécessaire à son introduction. La courbure sectionnelle d'une variété riemannienne, d'abord plus simple, véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un...) autant d'information que le tenseur de courbure, et permet de faire le lien avec la courbure de Gauss.

Courbure sectionnelle

On définit une courbure sectionnelle pour chacun des 2-plans inclus dans chacun des espaces tangents d'une variété riemannienne. Si P est un tel plan en un point m, on considère en premier lieu la famille des géodésiques issues de m selon les vecteurs de P. Cette famille constitue une surface paramétrée incluse dans la variété, image du 2-plan par l'application exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...).

La courbure sectionnelle du 2-plan est alors la courbure de Gauss de cette surface. Formellement, la collection de toutes les courbures sectionnelles constitue une application sur la grassmannienne des 2-plans, à valeurs réelles.

Définition du tenseur de courbure

Soit une variété affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) M de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) n, c'est-à-dire une variété munie d'une connexion affine \nabla. À partir de cette connexion, on définit le tenseur de courbure, ou tenseur de Riemann \mathcal{R}. Ce tenseur est défini pour X, Y et Z champs de vecteurs sur la variété par :

\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ \nabla_X\nabla_Y Z \ - \ \nabla_Y\nabla_X Z \ - \ \nabla_{[X,Y]}Z,

où [X, Y] est le crochet de Lie de X et Y. \mathcal{R}(X,Y) est un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'endomorphisme de l'espace fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé...) tangent TM : à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) champ de vecteur Z, il associe un nouveau champ de vecteur noté R(X, Y)Z.

Introduction d'une métrique

On munit la variété affine M d'un tenseur métrique (Tenseur) g : (M,g) est alors une variété riemannienne, et on peut définir une courbure à valeurs réelles par :

\mathcal{R}(X,Y,Z,W) \ = \ g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W).

En composantes dans une base locale \vec{e}_{\mu}, \mathcal{R}(X,Y)Z est le vecteur qui s'écrit :

\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ \vec{e}_{\mu}.

où les R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} sont les composantes du tenseur de courbure. On a alors :

g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W) \ = \ g_{\mu \lambda} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ W^{\lambda} \ = \ W_{\mu} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma}

En prenant sa trace (par rapport à X et Y), on obtient le tenseur de courbure de Ricci, et en prenant la trace de celui-ci, on obtient la courbure scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) (qui est une fonction de M dans \mathbb{R}).

Courbure de Ricci

Courbure scalaire

Exemples

  • Pour l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...), la courbure scalaire est nulle.
  • Pour la sphère de dimension n rayon un, la courbure scalaire vaut n(n − 1).
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