E (nombre) - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

la constante mathématique e

Euler's formula.svg

Logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur ...)

Applications
Intérêts composés  · Identité d'Euler  · Formule d'Euler  · Demi-vie (La demi-vie est le temps mis par une substance (médicament, noyau radioactif, ou autres) pour perdre la moitié de son activité pharmacologique, physiologique ou radioactive. En particulier, la demi-vie est le temps nécessaire...)  · Croissance exponentielle / Décroissance exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines...)

Définitions
Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant...) de l'irrationalité de e  · Représentations de e  · Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) d'Hermite-Lindemann

Personnes
John Napier  · Jacques Bernoulli  · Leonhard Euler (Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, est un mathématicien et physicien suisse, qui...)

Conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Schanuel

En mathématiques, e est une constante dont l'expression décimale commence par 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4…. Il s'agit de la base des logarithmes naturels.

Appellation :

  • e est parfois appelée constante de Néper, du nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) écossais John Napier (ou Neper) qui introduisit les logarithmes.
  • e fut appelé nombre exponentiel par Euler en 1761.

Considérations historiques

Le nombre e est probablement la constante réelle la plus importante des mathématiques après π : on la retrouve en effet dans la normalisation des fonctions exponentielles. Il est cependant difficile de dater avec exactitude son apparition dans la littérature. En effet, si Neper (Le neper (symbole Np), bien qu'en dehors du système international (SI), est en usage avec lui. Le neper est utilisé pour exprimer la valeur de...) introduit les logarithmes comme artifice de calcul pour simplifier les calculs du sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies...), du cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...), du produit et du quotient, il ne précise pas de base particulière pour ces logarithmes et les logarithmes les plus courants à cette époque sont ceux en base 10.

Les logarithmes naturels apparaissent pour la première fois en 1618 en appendice d'un traité de Napier probablement rédigé par William Oughtred.

En 1624, Briggs donne l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien...) du logarithme décimal (Le logarithme décimal ou log10 est le logarithme de base dix. Il est défini en tous les réels strictement positifs x.) d'un nombre qu'il n'identifie pas avec précision, mais qui se révèle être e.

L'aire sous l'hyperbole est égale à 1 sur l'intervalle [1;e].

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent calcule l'aire sous l'hyperbole, mais ne met pas en évidence le nombre e.

En 1661, Huygens est capable de faire le rapprochement entre l'aire sous l'hyperbole et les fonctions logarithmes. Comme e est le réel tel que l'aire sous l'hyperbole entre 1 et e vaille 1, il est probable que ce nombre fut remarqué à cette époque sans toutefois que l'on parle pour lui de la base du logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif...) naturel.

La première apparition de e comme nombre remarquable date de 1683, époque à laquelle Bernoulli s'intéresse aux calculs d'intérêt. Ce qui l'amène à étudier la limite de la suite (1 + \tfrac 1n)^n. Mais personne à ce moment ne fait le rapprochement entre ce nombre et les logarithmes naturels. Pourtant c'est durant cette période que l'on commence à entrevoir que la fonction logarithme de base a est la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de la fonction exponentielle de base a. La communauté scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) est alors mûre (La mûre est le nom donné à deux fruits issus de deux végétaux de genres différents : Morus et Rubus. Les deux fruits présentent un...) pour découvrir e. C'est dans une lettre de Leibniz à Huygens que ce nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturel, mais Leibniz lui donne le nom de b.

On doit la notation e pour cette constante à Euler dans une lettre que celui-ci adresse (Les adresses forment une notion importante en communication, elles permettent à une entité de s'adresser à une autre parmi un ensemble d'entités. Pour qu'il...) à Goldbach en 1731. Le choix de e a donné lieu a de nombreuses conjectures : e pour Euler ? e pour exponentielle ? ou tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement e comme première voyelle disponible dans le travail d'Euler.

C'est aussi Euler qui donne le développement de e en série

 e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{k!}+ \cdots

et en fraction continue :

e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}

Puisque e possède un développement en fraction continue (En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou encore fraction continuée est une expression de la forme :) infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), il est irrationnel. Les différents approximants de Padé permettent d'offrir de nombreuses expressions de e sous forme de fractions continues généralisées (cf. l'article Approximant de Padé de la fonction exponentielle). Elles permettent à Charles Hermite de démontrer la transcendance de ce nombre en 1873.

Décimales connues

Le nombre de décimales connues de la constante e a augmenté de façon spectaculaire au cours des dernières décennies. Cette précision est due à l'augmentation des performances des ordinateurs ainsi qu'au perfectionnement des algorithmes.

Nombre de décimales connues de la constante e
Date Décimales connues Performance due à
1748 18 Leonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1946 808  ?
1949 2 010 John von Neumann (John von Neumann (né Neumann János, 1903-1957), mathématicien et physicien américain d'origine hongroise, a apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique, qu'en analyse fonctionnelle, en...) (avec l'ENIAC)
1961 100 265 Daniel Shanks & John W. Wrench
1981 116 000 Stephen Gary Wozniak (avec l'Apple (Apple, Inc. (Apple Computer, Inc. jusqu'en janvier 2007 ; apple signifie « pomme » en anglais) (NASDAQ : AAPL) est une société multinationale dont l'activité principale était de fabriquer et de...) II)
1994 10 000 000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997 18 199 978 Patrick Demichel
Août 1997 20 000 000 Birger Seifert
Septembre 1997 50 000 817 Patrick Demichel
Février 1999 200 000 579 Sebastian Wedeniwski
Octobre 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski
21 novembre 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon
10 juillet 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 juillet 2000 3 221 225 472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2 août 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 août 2000 12 884 901 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21 août 2003 25 100 000 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18 septembre 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27 avril 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Page générée en 0.012 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique