Histoire de la géométrie - Définition
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Apport des arabes
Outre la traduction des textes grecs à travers laquelle l'Europe reconstruit l'héritage grec, les mathématiciens de langue arabe ont fortement développé la trigonométrie. On leur attribue les fonctions trigonométriques introduites par Nasir ad-Din at-Tusi, le théorème d'Al-Kashi, des approximations poussées de Pi, etc.
Les mathématiciens de langue arabe ont été les premiers à appliquer une approche algébrique pour paramétrer les courbes, géométrie algébrique.
L'héritage grec
Géométrie grecque (600-300 AJC)
Pour les mathématiciens de la Grèce antique, la géométrie était le cœur des sciences, atteignant une richesse de méthodologie inégalée dans les autres domaines du savoir. Ils étudièrent de nouvelles figures, dont des courbes, surfaces et solides. Ils reconnurent que les objets physiques ne sont que des approximations des formes étudiées en géométrie.
Thalès de Milet et Pythagore sont connus pour être parmi les premiers à développer un raisonnement hypothético-déductif et s'interroger sur la valeur des raisonnements. On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle, l'étude des angles inscrits et le théorème de Thalès. On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème dit de Pythagore, et la figuration des nombres entiers.
Platon introduit les cinq solides dits platoniciens : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'isocaèdre et le dodécaèdre. Les proportions et l'incommensurabilité sont introduites par Eudoxe. Euclide résume dans ses Eléments de manière précise et rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie. Mais ce traité ne comprend pas le calcul des aires et des volumes.
Par ailleurs, Platon, bien que non mathématicien, introduit l'idée que toutes les figures géométriques puissent être construites à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas parfait. Se posa alors des problèmes tels que la trisection de l'angle, la quadrature du cercle, et la duplication du cube. Ce dernier problème, incita Ménechme à introduire les coniques.
Origine probable
L'origine de la géométrie, comme l'origine de la science, est sujette à discussion suivant son acception. Traditionnellement, les premiers travaux de géométrie remontent à la Grèce antique. En effet, les Éléments d'Euclide sont incontestablement la première formulation axiomatique de la géométrie.
Géométrie hellénistique (300 avant notre ère - 500 de notre ère)
La géométrie helléniste commence avec l'écriture des éléments d'Euclide. Est présenté un système d'axiomes pour la géométrie euclidienne. Les éléments ne résument pas les connaissances en géométrie de l'époque.
La géométrie au XIXe siècle
Géométrie non euclidienne
Jusqu'au XIXe siècle n'était étudiée qu'une géométrie, fondée sur les axiomes d'Euclide, et qui était considérée comme la géométrie véritable de l'espace physique. La découverte de géométries non euclidiennes par Gauss, Lobatchevski, Bolyai modifia complètement cette appréhension de l'espace absolu.
Différents types de géométries prirent alors leur autonomie : géométrie hyperbolique, géométrie elliptique, chacune s'appuyant sur un modèle différent d'espace. Plus important encore que les modèles permettant la réalisation concrète d'une géométrie, est le jeu d'axiomes auquel on peut la ramener.
Le programme d'Erlangen
Le programme d'Erlangen, publié en 1872 sous le titre « Considération comparatives sur les recherches géométriques modernes », est l'œuvre de Felix Klein. C'est un important travail de synthèse qui valide les géométries non-euclidiennes et donne à la géométrie projective un rôle central. Ce travail constitue une troisième approche de la géométrie par la théorie des groupes. Selon la conception de Klein, la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations (appelées aussi symétries) et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes.
