Inégalité de Cauchy-Schwarz - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), l'analyse avec les séries et en intégration.

Cette inégalité s'applique dans le cas d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) sur le corps des nombres réels ou complexes muni d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...). Dans le cas complexe, le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) désigne une forme hermitienne définie positive. Son contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) général est donc celui d'un espace préhilbertien (En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel...).

Cette inégalité possède de nombreuses applications, comme le fait d'établir l'inégalité triangulaire montrant que la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...) de la forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux...) associée au produit scalaire est une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...), ou encore que le produit scalaire est continu. Elle fournit des justifications ou des éclairages dans des théories où le contexte préhilbertien n'est pas central.

Elle doit son nom à Hermann Amandus Schwarz et à Augustin Louis Cauchy (Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à...).

Énoncé

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) s'énonce couramment de la façon suivante :

Théorème 1 — Soit (E,\langle \cdot,\cdot\rangle) un espace préhilbertien réel ou complexe. Alors, pour tous vecteurs x et y de E,

 |\langle x,y\rangle|\leqslant \|x\|\ \|y\|.

De plus, les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Conséquences et applications

Conséquences

L'inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée...) a des applications importantes. Elle permet notamment de montrer que l'application x\mapsto\sqrt{\langle x,x\rangle} est une norme car elle vérifie l'inégalité triangulaire. Une conséquence est que le produit scalaire est une fonction continue pour la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...) induite par cette norme.

Elle permet également de définir l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) non orienté entre deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel, par la formule :

\cos\widehat{(x,y)}=\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\| \|y\|}.

Dans le cas de l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) \quad \mathbb R ^n muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

\left|\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}\right|\leqslant\left (\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}\right)^{1/2}.\left (\sum_{i=1}^n y_{i}^{2}\right)^{1/2}

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) intégrable, elle s'écrit

\left|\int f. \overline g\, \right| \leqslant \left( \int  |f|^2\,\right)^{1/2}. \left( \int |g|^2\, \right)^{1/2}.

Cette inégalité est un cas particulier des inégalités de Hölder.

Autres applications

  • L'inégalité de Cauchy-Schwarz est aussi un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) fondamental de l'analyse dans les espaces de Hilbert. Grâce à elle, on peut construire une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) du préhilbert E dans son dual topologique : pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) y, la forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier...) qui à x associe <x,y> est continue, de norme égale à celle de y. Ceci permet d'énoncer le théorème de représentation de Riesz selon lequel si E est un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...) alors cette injection est un isomorphisme.
    On la retrouve aussi dans le théorème de Lax-Milgram.
  • Cependant ses applications peuvent sortir du cadre strict de l'analyse dans les espaces de Hilbert. En effet elle se retrouve parmi les ingrédients utiles à l'inégalité de Paley-Zygmund en théorie des probabilités (La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes...) et du traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe...).
    En théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des probabilités toujours, dans l'espace des variables aléatoires admettant un moment d'ordre 2, l'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit l'inégalité \mathbb{E}(X Y) \le \sqrt {\mathbb{E}(X^2) \mathbb{E}(Y^2)}, qui compare l'espérance du produit de deux variables aléatoires au produit des espérances de leurs carrés. Elle permet d'établir que le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) de corrélation de deux variables aléatoires est un réel compris entre -1 et 1.
  • En optimisation, le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) directionnelle permet de justifier que le gradient donne la direction de plus grande pente.
  • En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), l'inégalité de Cauchy-Schwarz joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle important dans le principe d'incertitude d'Heisenberg et a pris place dans le débat (Un débat est une discussion (constructive) sur un sujet, précis ou de fond, annoncé à l'avance,...) sur l'hypothèse des quanta de lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...). Elle serait utilisée en informatique quantique (L'informatique quantique est le sous-domaine de l'informatique qui traite des ordinateurs...).
Page générée en 0.114 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique